2.4. Анализ систем в частотной области

В предыдущем разделе мы имели дело со ступенчатым и линейным тестовыми сигналами. В данной главе мы рассмотрим реакцию системы в установившемся режиме на синусоидаль­ный тестовый сигнал. Мы покажем, что в этом случае выходной сигнал также является си­нусоидальным той же частоты, что и входной, однако отличается от него по амплитуде и по фазе, причём эти отличия зависят от частоты входного сигнала. Поэтому нас будет интере­совать реакция системы на синусоидальный сигнал, частота которого изменяется во всём возможном диапазоне.

С помощью замены мы перейдём от передаточной функции к и рас­смотрим способы графического представления комплексного выражения в зависи­мости от частоты w. Один из наиболее эффективных методов анализа и синтеза систем управления связан с применением диаграмм Боде (логарифмических характеристик), поэтому мы уделим данному вопросу серьёзное внимание. Мы рассмотрим также способы изображения частотных характери­стик в полярных координатах (на комплексной плоскости) и в логарифмическом масшта­бе. Мы покажем, как некоторые показатели качества системы во временной области мож­но оценить по её частотным характеристикам, а также введём понятие полосы пропуска­ния системы.

Cуждение о качестве системы и её реакции на внешние воздействия основывалось на расположении на комплексной плоскости переменной s полюсов и нулей передаточной функции. Альтернативным методом анализа и синтеза систем управления, имеющим важное практическое значение, является метод частотных характеристик.

Частотная характеристика определяется как реакция системы в установив­шемся режиме на синусоидальный входной сигнал при изменении его частоты во всём возможном диапазоне. При этом в линейной системе как входной сиг­нал, так и сигнал в любой другой точке в установившемся режиме являются си­нусоидальными; они отличаются от входного сигнала только по амплитуде и по фазе.

При исследовании и создании САУ, аппарат частотных характеристик был одним из первых, т.к. они наиболее полно отражают физическую природу процессов, происходящих в динамических объектах.

В качестве преобразования функции f(t) используется преобразование Фурье

.

(2.40)

Преобразование Фурье позволяет разложить непериодическую функцию f(t) для которой выполняется условие сходимости в бесконечный ряд

(интеграл существует)

(2.41)

гармоник, образующих непрерывный спектр частот в интервале от – до + с бесконечно малым интервалом частот между смежными частотами (  0).

Отметим, что по сравнению с преобразованием Лапласа преобразование Фурье позволяет отобразить оригинал только на мнимую ось, в преобразовании Лапласа же используется вся комплексная плоскость.

Для перехода к частотным характеристикам, необходимо в уравнение ПФ вместо оператора Лапласа p подставить оператор Фурье j (pj), получим частотную характеристику

.

(2.41)

Рассмотрим понятие о частотных характеристиках.

Если на вход линейной разомкнутой системы (или звена) подать гармонический входной сигнал, то по истечении некоторого времени окончания переходных процессов на выходе системы (звена) установится также гармонический выходной сигнал той же частоты. Амплитуда и фаза при прочих равных условиях будут зависеть от частоты входного сигнала. По ним, как будет показано дальше, можно судить о свойствах САУ.

Достоинством частотных методов является то, что частотные характеристики можно снять экспериментально. Чтобы снять частотную характеристику необходимо на вход подавать гармонический сигнал, изменяя частоту от 0 до , а на выходе измерять амплитуду и фазу для частот _i.

Отметим еще, что в выражении передаточной функции и частотной характеристики для реальных систем степень знаменателя всегда больше степени числителя n>m, т.к. полоса пропускания частот реальной системы всегда ограничена. Действительно, если n<m, то на выходе системы при увеличении частоты могут возникнуть колебания с бесконечно большой амплитудой.

Частотная характеристика (ЧХ) элемента или системы W(j) может быть представлена в двух видах:

1. ,

2. .

где P() – вещественно-частотная характеристика (ВЧХ);

Q() – мнимо-частотная характеристика (МЧХ);

A() – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

() – фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Часто ЧХ представляется графически (рис. 2.22) на комплексной плоскости, где все указанные величины связаны между собой по следующим соотношениям.

Рис. 2.22. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

– АЧХ.

– ФЧХ.

Часто при исследовании систем используются логарифмические частотные характеристики.

Понятие о логарифмических частотных характеристиках

При исследовании САУ, амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах. Это связано с двумя обстоятельствами:

1. В логарифмических масштабах кривизна характеристик резко уменьшается, что позволяет в большинстве практических случаев приближенно изображать АЧХ ломанными линиями.

2. В логарифмических масштабах АЧХ цепочки звеньев равна сумме АЧХ отдельных звеньев .

АЧХ в логарифмических масштабах строится в координатах 20lgA и lg, а ФЧХ – в виде зависимости  от lg.

Единицей измерения 20lgA служит децибел, равная 0,1 бела. Бел – единица измерения десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала, т.е. 1 бел соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз и т.д. Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды A² (Пример: для электрической цепи ), , то усиление в белах, выраженное через отношение амплитуд A, равно , соответственно в децибелах оно равно

Рис. 2.23. Логарифмическая плоскость для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ.

По оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе частота (десятичный логарифм) (изменение частоты в 10 раз – декада), а около отметок указывается само значение частоты. Иногда применяется логарифм частоты при основании 2 (изменение частоты в два раза – октава) одна октава равно 0,303 декады, т.к. .

Для построения логарифмических фазовых характеристик (ЛФХ) на оси абсцисс используется аналогичная шкала частот или , а по оси ординат (обычно используется нижняя часть плоскости) откладывается фаза  в градусах.

Отметим ещё, т.к. точка в логарифмическом масштабе находится слева (в –), то ЛАФХ строятся не от , а от достаточно малого, но конечного значения , которое и откладывается в начале координат.