3.2.4. Синтез принятия решений при проектировании непрерывных систем на примере управления функционированием магнитного диска

В качестве примера рассмотрим процесс синтеза принятия управленческих решений при проектировании непрерывных систем, а именно: управление функционированием магнитного диска.

Рассмотрим управление скоростью вращения диска.

Во многих современных приборах используется диск, который должен вращаться с посто­янной скоростью. Это, например, проигрыватель компакт-дисков или грампластинок, дис­ковод компьютера, требующие вращения с постоянной скоростью, несмотря на износ и из­менение характеристик электродвигателя и вариацию других параметров. Наша задача со­стоит в синтезе системы управления скоростью вращения диска, которая гарантировала бы, что действительная скорость отличается от желаемой не более, чем на заданную вели­чину. Мы рассмотрим два варианта решения этой задачи; разомкнутая система и система с обратной связью.

Чтобы обеспечить вращение диска, мы должны в качестве исполнительного устрой­ства выбрать электродвигатель постоянного тока, скорость вращения которого пропорци­ональна приложенному напряжению. Этот входной сигнал двигателя должен иметь до­статочную мощность, поэтому нам также потребуется выбрать усилитель.

Рис. 3.26. Разомкнутая система управления скоростью вращения диска (а);

функциональная схема системы (б)

Разомкнутая система (без использования обратной связи) изображена на рис. 3.26 (а). В этой системе для задания напряжения, пропорционального желаемой скорости, исполь­зована батарея. Затем это напряжение усиливается и подается на двигатель. Функциона­льная схема данной системы изображена на рис. 3.26 (б).

Чтобы реализовать систему с обратной связью, нам необходимо выбрать датчик. Од­ним из возможных решений является тахогенератор, выходное напряжение которого про­порционально скорости вращения его вала. Тогда замкнутая система будет иметь вид, изображенный на рис. 3.26 (а). Функциональная схема этой системы приведена на рис. 3.26 (б). Сигнал ошибки образуется как разность между входным напряжением и на­пряжением тахогенератора.

На рис. 3.27 схематично изображена процедура синтеза системы чтения информации с диска. Мы рассмотрели этапы (1-4), в соответствии с рис. 3.6., где мы установили цель управления, указали переменные, на которые необходимо воздействовать, сформулировали ограничения, накладываемые на эти переменные и сделали набросок конфигурации системы.

Информация обычно легко накапливается на магнитных дисках. Составной частью портативных и более крупных компьютеров различных модификаций являются дисково­ды. В 1996 г. во всём мире согласно оценке было продано порядка 100 млн дисководов. Схематическое изображение дисковода представлено на рис. 3.28.

Тахогенератор

Рис.3.27. Замкнутая система управления скоростью вращения диска (а);

функциональная схема системы (б)

Рис. 3.28. Схема дисковода

Целью системы управ­ления является позиционирование считывающей головки на определенной дорожке диска (этап 1). Переменная, которой нужно управлять с высокой точностью (этап 2), — это по­ложение считывающей головки, закрепленной на конце рычага. Диск вращается со скоро стью от 1800 до 7200 об/мин, а головка плавает над диском на расстоянии менее 100 нм. Исходное требование к точности позиционирования (этап 3) составляет 1 мкм. Кроме того, мы хотели бы, если это возможно, чтобы перемещение от дорожки а к дорожке b со­вершалось не более чем за 50 мс. В данной замкнутой системе для перемещения рычага со считы­вающей головкой в заданное положение относительно диска будет использован электро­двигатель.

Одной из задач управления дисководом рассмотрим задачу позиционирования считывающей головки точно на заданную дорожку и обеспечивать возможность переход от одной дорожки к другой в пределах 10 мс (этапы 4 и 5 процесса синтеза, рис. 3.6.).

Нам необходимо выбрать исполнительное устройство, датчик и регулятор (этап 4). Затем следует разработать модель объекта, , и датчика. Для приведения в действие рычага считывающей головки используется двигатель с постоянными магнитами. При производстве дисководов его называют двигателем со звуковой катушкой. Головка считывания закреплена на скользящем элементе, закрепленном на рычаге. Гибкая пластина дает возможность головке плавать над диском с зазором менее 100 нм. Тонкопленочная головка воспринимает магнитный поток и форми­рует сигнал, поступающий на усилитель. Сигнал ошибки на рис. 3.29(а) формируется на основании заданного номера дорожки. Полагая, что положение считывающей головки определяется точно, можно считать, что передаточная функция датчика Н(s) = 1, как пока­зано на рис. 3.29(б). На этом рисунке также приведены модели двигателя с постоянными магнитами и линейного усилителя. Двигатель, управляемый по цепи якоря, достаточно хорошо представляется в виде модели на рис. 2.20 при К_ь = 0. В полной модели системы на рис. 3.29(6) предполагается, что пластина является жесткой, а не слишком гибкой.

Рис. 3.29. Структурная схема считывающей системы дисковода

Рис. 3.29. Продолжение

Таблица 3.2

Типичные параметры дисковода

Параметр	Обозначение	Типичное значение
Момент инерции рычага и считывающей головки		1 H*м*с2/рад
Коэффициент трения	b	20 кг/м/c
Коэффициент усиления		10-1000
Сопротивление якоря	R	1Ом
Коэффициент передачи двигателя		5 H*м/А
Индуктивность якоря	L	1 мГн

Типичные параметры дисковода приведены в табл. 3.2. Следовательно, мы имеем

(3.5)

Выражение можно представить в виде

, (3.6)

где и . Поскольку << , мы можем принебречь величиной .

Тогда

,

или

Структурная схема замкнутой системы приведена на рис. 3.30. На основании правил преобразования структурных схем (табл. 2.1) можно записать

(3.7)

Используя аппроксимацию вторым порядком, мы получим

Рис. 3.30. Структурная схема замкнутой системы

Если то

Полагая , т.е. , с помощью функции step мы получим реакцию системы y(t).

Высококачественные диски имеют до 5000 дорожек на см. Ширина дорожек обыч­но порядка 1 мкм. Поэтому предъявляются очень жесткие требования к точности позиционирования считывающей головки и к ее перемещению от одной дорожки к другой. Теперь мы разработаем модель дисковода в переменных состояния, которая будет учитывать эффект изгиба пластины.

Поскольку для быстрого перемещения головки необходимо иметь малую массу рычага, то нам придется учесть эффект изгиба пластины, изготовленной из очень тонкой упругой стальной ленты. Еще раз отметим, что нам необходимо с высокой точностью управлять положением головки у{1), как это показано на рис. 3.31(а) (шаг 2 процедуры синтеза на рис. 3.6). Прежде всего мы попытаемся разработать модель системы, изобра­женной на рис. 3.31(а). Обозначим массу двигателя через М₁ а массу головки через М₂. Изгиб пластины будем характеризовать коэффициентом упругости к. Сила и(t), приводя­щая в движение массу М₁, создается двигателем постоянного тока. Если пластина являет­ся абсолютно жесткой (не подверженной изгибу), то мы получим упрощенную модель, изображенную на рис. 3.31(б). Типичные параметры этой системы с двумя массами при­ведены в табл. 3.3.

Рис. 3.31. Модель системы с двумя массами и упругой пластиной а).

Упрощенная модель с жесткой пластиной б)

Таблица 3.3.

Типичные параметры системы с двумя массами

Параметры	Обозначение	Величина
Масса двигателя	M1	20 г=0,02 г
Коэффициент упругости пластины	k	10
Масса головки	M2	0,5 г=0,0005 кг
Коэффициент трения массы 1	b1	410*10-3кГ/м/с
Положение головки	y(t)	переменное, мм
Сопротивление обмотки возбуждения	R	1 Ом
Индуктивность обмотки возбуждения	L	1 мГн
Постоянная электродвигателя	Km	125 Н*м/А
Коэффициент трения массы 2	b2	4,1*10-3кГ/м/с

Сначала мы получим передаточную функцию упрощенной модели на рис. 3.31(б) (шаг 5 процедуры синтеза на рис. 3.6). . Тогда мы имеем

(3.8)

Следовательно, передаточная функция модели

С учетом параметров таблицы 3.3., получим

Структурная схема считывающего устройства с учетом обмотки электродвигателя приведена на рис. 3.32.

Рис. 3.32. Структурная схема считывающего устройства с жесткой пластиной

При R=1 Ом, L=1 мГн и мы имеем

(3.9)

Теперь получим модель в переменных состояния с двумя массами, изображенной на рис. 3.31(а). Дифференциальные уравнения имеют вид:

для массы М₁:

для массы М₂:

Выберем в качестве переменных состояния и . Тогда

и .

Тогда уравнение состояния в векторно-матричной форме:

,

где

, , . (3.10)

Заметим, что выходом является Кроме того, пренебрегая индуктивностью обмот­ки двигателя . Выбрав значение k =10 и используя остальные параметры таблицы получим:

и

Скрипт M-файла реакции переменной на ступенчатое воздействие представлен на рис. 3.33 Реакция переменной при отображена на рис.3.34. Характер процесса является сильно колебательным, поэтому ясно, что необходимо иметь пластину с большей жесткостью, т.е выбирать k>100.

Рис.3.33. Скрипт M-файла реакции переменной на ступенчатое воздействие	Рис.3.34. Переходная характеристика

Синтез системы чтения информации с диска является примером оптимизации и принятия компромиссных решений. Система должна точно позиционировать счи­тывающую головку и в то же время обладать способностью уменьшать влияние из­менения параметров и внешних ударов и вибраций. Механический рычаг и пластина могут резонировать на частотах, с которыми появляются внешние возмущения, например тряска портативного компьютера. К числу возмущений относятся также физические удары, износ или биения в подшипниках привода, изменение параметров элементов системы. В этом разделе мы исследуем реакцию системы на возмущения и ее поведение при изменении па­раметров. Кроме того, получим оценку установившейся ошибки при ступенчатом измене­нии задания и пронаблюдаем, как повлияет на переходную характеристику изменение ко­эффициента усиления усилителя К_а. Таким образом, мы выполним шаги 6 и 7 процедуры синтеза, представленной на рис. 3.35.

Рис. 3.35. Система управления положением считывающей головки дисковода

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.35. В этой системе в качестве регуля­тора используется усилитель с настраиваемым коэффициентом усиления. С учетом пара­метров, приведенных в табл. 3.2, мы получим структурную схему, изображенную на рис. 3.35а. Сначала определим установившуюся ошибку при единичном ступенчатом входном воздействии, , полагая D(s)= 0. Поскольку H(s) = 1, то

,

Следовательно,

(3.11)

Отсюда следует, что несмотря на любые изменения параметров системы.

Рис. 3.35а. Система 3.35 с параметрами из таблицы 3.2.

Теперь получим переходную характеристику системы при разных значениях коэф­фициента К_а. Передаточная функция замкнутой системы с учетом условия D(s) = 0 имеет вид:

(3.12)

С помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 3.36 (а), мы получим переходные ха­рактеристики системы при значениях К_а = 10 и К_а = 80. Эти характеристики изображены на рис. 3.36 (б). Очевидно, что система быстрее отрабатывает задающее воздействие в слу­чае К_а = 80, но реакция имеет колебательный характер, что, по-видимому, неприемлемо.

	Рис. 3.36. Переходные характеристики замкнутой системы (а) Скрипт МАТLAB. (б) Переходные характеристики при и

Теперь определим влияние возмущения D(s) = 1/s, полагая R(s) = 0, Желательно, что­бы это влияние было незначительным.

С помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 3.36 (а), при К_а = 80 и D(s) = 1/s мы получим реакцию системы, изображенную на рис. 3.36 (6). Чтобы еще сильнее умень­шить влияние возмущения, нам потребовалось бы взять коэффициент К_а больше, чем 80. Однако при этом реакция системы на сигнал r(i) = 1, t > 0 была бы сильно колебательной.

Далее мы попытаемся определить оптимальное значение К_а, предъявив определенные требования к быстродействию системы и величине перерегулирования.

Нашей целью является получение наилучшего быстродействия при отработке сту­пенчатого сигнала r(t) с учетом (1) ограничения на величину перерегулирования и колеба­тельный характер реакции и (2) необходимости уменьшения влияния возмущения на по­ложение считывающей головки. Требования к качеству системы сведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Требования к переходной характеристики

Показатель качества	Желаемое значение
Относительное перерегулирование	Менее 5%
Время установления	Менее 250 мс
Максимальная реакция на единичное ступенчатое воздействие	Менее 5*10-3

Рассмотрим модель второго порядка для двигателя и рычага, в которой мы прене­брегли индуктивностью обмотки двигателя. В этом случае замкнутая система имеет вид рис. 3.37. Для входной переменной при условии D(s)=0 можно записать:

Рис. 3.37. Модель системы управления второго порядка

Отсюда следует, что и . Далее мы можем определить реакцию сис­темы с помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 3.38. В табл. 3.5 представлены показатели качества, соответствующие различным значениям .

Таблица 3.5

Реакция системы второго порядка на ступенчатый входной сигнал

Показатель качества	20	30		40	60	80
Относительное перерегулирование	0	1,2%		4,3%	10,8%	16,3%
Время установления (с)	0,55	0,40		0,40	0,40	0,40
Коэффициент затухания	1	0,82		0,707	0,58	0,50
Максимальная значение выходной переменной при единичном ступенчатом воздействии	-10*10-3	-10*10-3		-10*10-3	-10*10-3	-10*10-3
а)			б)
Рис. 3.38.Реакция системы на единичный ступенчатый сигнал, а) Скрипт MATLAB; б) Реакция системы при =30.

При увеличении К_а до 60 влияние возмущения умень­шается почти в 2 раза. Если мы хотим удовлетворить требования, предъявляемые к систе­ме, то нам придется выбрать компромиссное значение К_а. Очевидно, в данном случае наи­лучшим компромиссом будет значение К_а = 40. Однако это значение не удовлетворяет всем требованиям.

В задаче синтеза системы управления положением считывающей го­ловки мы занимались подбором коэффициента К_а. Теперь мы займемся анализом устойчивости этой системы в зависимости от параметра К_а и изменим конфигура­цию системы, как это предусмотрено шагом 4 процедуры синтеза.

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.39. Это та же самая система с моделью двигателя и нагрузки, с которой мы имели дело ранее, за исключением того, что теперь в нее добавлен датчик обратной связи по скорости. Сначала рассмотрим случай, когда ключ разомкнут. Тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:

(3.13)

где

и

Рис. 3.39. Замкнутая система управления положением считывающей головки с возможностью реализации обратной связи по скоростям

Характеристическое уравнение системы:

(3.14)

или

Составим таблицу Рауса:

где

Случай соответствует нахождению системы на границе устойчивости, при этом . Вспомогательное уравнение имеет вид:

откуда следует, что на мнимой оси находятся корни .

Чтобы система была устойчива, должно выполняться условие . Теперь введем обратную связь по скорости, замкнув ключ на рис. 3.39. Передаточная функция замкнутой системы примет вид:

(3.15)

поскольку обратная связь теперь представлена фактором , как изображено на рис. 3.40.

Запишем характеристическое уравнение:

или

Рис. 3.40. Эквивалентная схема с обратной связью по скорости (ключ замкнут)

Отсюда имеем:

Составим таблицу Рауса:

где

Чтобы обеспечить устойчивость системы, параметры и надо выбрать так, что­бы было , где . На рис. 3.41 приведена реакция системы, рассчитанная с помо­щью МАТLАВ при и . Время установления (по критерию 2%) приблизи­тельно равно 260 мс, а перерегулирование отсутствует. Показатели качества системы приведены в табл. 3.6. Требования, предъявляемые к качеству системы, практически удовлетворены, однако требуется некоторая подгонка коэффициента чтобы добиться желаемого времени установления 250 мс.

Таблица 3.6

Показатели качества системы управления положением считывающей головки при наличии обратной связи по скорости

Показатель качества	Желаемое значение	Действительное значение
Относительное перерегулирование	Менее 5%	0%
Время установления	Менее 250 мс	260 с
Максимальная реакция на единичное ступенчатое воздействие	Менее 5*10-3	2*10-3

а)	б)
Рис.3.41. Переходная характеристика системы с обратной связью по скорости а) Скрипт MATLAB; б) реакция системы при ;

В предыдущем разделе мы рассмотрели новую конфигурацию системы управления, в которой была использована обратная связь по скорости. Теперь мы разберём случай, когда заданное качество системы обеспечивается с помощью ПИД-регулятора. Для выбора па­раметров регулятора в данной главе мы воспользуемся методом корневого годографа. ПИД-регулятор имеет передаточную функцию

(3.16)

Поскольку в модели объекта уже присутствует операция интегрирования, то мы примем . В результате мы получим ПД-регулятор:

, (3.17)

а целью синтеза является выбор параметров и , удовлетворяющих требованиям к ка­честву системы. Структурная схема системы приведена на рис. 3.42. Передаточная функ­ция замкнутой системы равна

где .

Рис. 3.42. Система управления положением считывающей головки

с ПД регулятором

Чтобы построить корневой годограф, представим в виде

,

где . Параметр мы выберем, чтобы задать положение нуля z, а затем построим корневой годограф зависимости от . Примем z=1, тогда

(3.18)

Разность между числом полюсов и числом нулей равна 2, поэтому можно ожидать, что асимптоты будут расположены под углами , а их центроид будет в точке

,

как это показано на рис. 3.43. На этом же рисунке изображён набросок корневого годогра­фа. С помощью МАТLАВ определены значения корней при разных значениях . Корни, соответствующие =100, показаны на рис. 3.43. При этом показатели качества системы, также определённые с помощью МАТLАВ, приведены в табл. 3.7, откуда следует, что син­тезированная система удовлетворяет всем выдвинутым требованиям. Время установле­ния, равное 20 мс, — это время, необходимое системе для того, чтобы переходная характе­ристика «практически» достигла установившегося значения. В действительности реакция системы, достигнув 97% от конечного значения, очень медленно приближается к послед­нему.

Рис. 3.43. Набросок корневого годографа

Таблица 3.7.

Требуемые и действительные значения показателей качества системы чтения информации с диска

Показатель качества	Желаемое значение	Действительное значение
Относительное перерегулирование	Менее 5%	0%
Время установления	Менее 250 мс	20 мс
Максимум реакции на единичное возмущение	Менее 5*10-3	2*10-3

В дисководе считывающая головка закреплена на гибкой пластине, как показано на рис. 3.31. Эту пластину можно представить в виде модели, состоящей из пружины и массы. Далее мы к модели двигателя и нагрузки добавим эффект гибкости пластины.

Представим модель пластины с закреплённой на ней головкой в виде массы М, пру­жины с жёсткостью k и элемента трения с коэффициентом b, как показано на рис. 3.44. Бу­дем предполагать также, что сила , прикладываемая к пластине, создаётся рычагом.

Рис. 3.44. Модель пластины и головки в виде пружины, массы и трения

Передаточная функция системы, состоящей из пружины и массы будет иметь вид:

Типичные параметры пластины и головки: и собственная резонансная частота .Следовательно, как показано на структурной схеме системы (рис. 3.45).

Рис. 3.45. Система управления положением головки дисковода

с учетом упругости пластины

Переходная характеристика системы управления и скрипт представлены на рис. 3.46.

Рис. 3.46 Скрипт MATLAB (а)	Переходная характеристика (б)

Сначала мы построим амплитудные характеристики (асимптотическую и точную) диаграммы Боде для разомкнутой системы (они приведены на рис. 3.47). Заметим, что на резонансной частоте точная характеристика имеет превышение над асимптотиче­ской в 10 дБ. Эти характеристики построены для системы, изображённой на рис. 3.45 при К = 400 согласно выражению . Поскольку амплитудная характеристика имеет всплеск на частоте , то естественным является избежать возбуж­дения системы на этой частоте.

Рис. 3.47. Амплитудная характеристика диаграммы Боде для системы (рис.3.45)

Амплитудные характеристики разомкнутой и замкнутой систем представлены на рис. 3.48. Полюса пропускания замкнутой системы равна . Считая, что для этой системы и , мы можем оценить время установления (по критерию 2%) с помощью выражения

,

что составляет 2,5 мс. И пока выполняется условие К < 400, резонанс, свойственный упру­гой пластине с головкой, находится вне полосы пропускания системы.

Рис. 3.48. Амплитудные характеристики диаграмм Боде (а) и для разомкнутой и (б) для замкнутой системы

Мы рассмотрели частотные характеристики систем управления, представляю­щие собой реакцию системы в установившемся режиме на синусоидальный входной сиг­нал. Были рассмотрены несколько альтернативных способов графического изображения частотных характеристик, включая изображение в полярных координатах и в логарифми­ческом масштабе (последний способ часто называют диаграммой Боде). Была отмечена простота построения диаграммы Боде для отдельных сомножителей функции , что наглядно проиллюстрировано примером. Построение диаграммы Боде значительно облег чается при использовании асимптотической аппроксимации частотных характеристик. Были рас­смотрены некоторые параметры частотных характеристик, характеризующие качество си­стемы; среди них важнейшими являются максимум амплитудной характеристики и резонансная частота . Была отмечена связь между диаграммой Боде и коэффициентами ошибки и . И, наконец, было показано, как частотные характеристики системы можно представить в виде логарифмической амплитудно-фазовой диаграммы.