1…16 – Номера степеней свободы
Матричная форма уравнений для перемещений узлов имеет следующий вид:
|
. (2.35) |
Решение систем уравнений (2.35) относительно коэффициентов α1…α16 позволяет получить соотношение
{α1-16}=[Q] {U},
где
,
(2.36)
.
(2.37)
Относительные деформации описываются следующими выражениями:
,
(2.38)
на основании которых строится матрица [L]:
.
(2.39)
Матрицы [Q] и [L] получены, матрица [D] берётся из табл. 7. Этого достаточно для запуска математического процесса построения матрицы [K] в соответствии с (2.33). Развёрнутая запись матрицы [K] не требуется.
2.3. Глобальная матрица жёсткости системы
2.3.1. Общая и местная системы координат
До сих пор КЭ рассматривались изолированно, без учёта того, что каждый из них является частью системы (ансамбля), моделирующей реальное сооружение или его часть (конструкцию, основание). Процедура МКЭ предполагает включение членов (Kij) готовых (известных из теории или вновь созданных) матриц жёсткости конечных элементов в глобальную (общую) систему уравнений, выражающую равновесие и неразрывность узлов.
При расчёте стержневых систем узловые перемещения должны быть преобразованы в связи с переходом от местной (локальной) x1, y1, z1 к общей (глобальной) X, Y, Z системе координат. Покажем это на примере стержня с тремя степенями свободы в узле в плоскости XОZ (рис. 30, а, б).
а)
|
б) |
|
Рис. 30. Общая и местная системы координат: а – стержень М; б – направления векторов U1…U6, F1…F6, х1i, х2i, х3i, х1k, х2k, х3k, PM1…PM6 |
||
Плоский КЭ на рис. 30, а находится в общей XОZ и местной x11z1 системах координат. В местной системе номера узлов в начале (конце) стержня 1 (2). В общей системе приняты сквозные нумерации узлов и конечных элементов, начиная с единицы. Местная система расположена под углом α к общей системе координат. Уравнения связи между координатами в общей и местной системах:
X=X1+x1 cosα, Z=Z1+z1sinα, (2.40)
где X1, Z1 – координаты узла 1, отсчитываемые от точки О (см. рис. 30, а).
Примем обозначения: U1, U2…U6 – по-прежнему перемещения в местной системе (рис. 30, б), х1i, х2i, х3i, х1k, х2k, х3k – перемещения тех же узлов в общей системе, где им присвоены номера i и k. Обе группы перемещений связаны следующими соотношениями:
U1= х1icosαМ+х2isinαМ; U2=− х1isinαМ+х2icosαМ; U3=x3i;
U4= х1kcosαМ+х2ksinαМ; U5=− х1ksinαМ+х2kcosαМ; U6=x3k.
Те же уравнения в матричной форме
(2.41)
Аналогичным путём силы F1, F2…F6 в местной системе уравниваются с силами PM1, PM2…PM6 (М – номер стержня) в глобальной системе:
(2.42)