Контрольные вопросы для самопроверки
1. Опишите физические характеристики грунтов (плотность, пористость, влажность): определения, формульные зависимости, размерности.
2. Назовите классы, виды, разновидности грунтов и определяющие их показатели.
3. Охарактеризуйте пространственное напряжённое состояние, плоскую деформацию, осесимметричную задачу.
4. Изобразите положительные направления осей при решении задач теории упругости и пластичности: координат, усилий, напряжений.
3. Запишите закон Кулона и представьте его графическую форму.
4. Опишите и дайте объяснение метода лабораторного определения грунтов срезу.
5. Опишите и дайте объяснение испытания грунта методом трёхосного сжатия.
6. Дайте объяснение и приведите доказательство условия предельного напряжённого состояния грунта по Мору-Кулону.
7. Объясните разницу между предельным равновесием грунта по закону Кулона и предельным напряжённым состоянием по уравнению Мора-Кулона.
8. Приведите записи инвариантов пространственного напряжённого состояния.
9. Что представляют собой фазы напряжённого состояния грунтовых оснований и геотехнических объектов?
10. Охарактеризуйте теории линейного деформирования и жёстко-пластичности и области их практического использования.
11. Охарактеризуйте связь видов предельных состояний, расчётных моделей грунта и расчётных проверок сводов правил (СНиП).
2. Метод конечных элементов в механике грунтов
Современная прикладная (применяемая в проектной практике) нелинейная механика грунтов использует в качестве своей математической основы метод конечных элементов (МКЭ). Изучению этого метода как средства решения нелинейных задач должно предшествовать знакомство с его теоретической и линейной основой. Настоящий раздел содержит изложение и обоснование уравнений и математических процедур МКЭ в объёме, необходимом для последующего восприятия идей, алгоритмов и прикладных задач нелинейной механики грунтов.
2.1. Теоретические основы мкэ. Идеи, постулаты
Общие положения. МКЭ позволяет на единой вычислительной основе осуществить расчёт систем любой конфигурации (плоских, осесимметричных, пространственных, комбинированных), встречающейся в строительном и геотехническом проектировании, с произвольным нагружением. Расчётная схема проектируемого (или исследуемого) объекта условно делится на конечные элементы (КЭ) с конечным числом степеней свободы, понимаемых как определяемые в расчёте векторы перемещений узлов. На рисунке 24 приводятся примеры такого деления. Контактирующие КЭ, представляющие собой топологически изученные геометрические фигуры, сопрягаются (скрепляются) общими узлами (вершинами, рёбрами).
Каждому узлу и каждому КЭ присваивается порядковый номер. Обе нумерации начинаются с 1. Расчётная область находится под действием сил и моментов, приложенных в узлах (узловых сил). Температурные воздействия и нагрузки, приложенные к точкам и площадкам внутри КЭ, заменяются эквивалентными наборами узловых сил.
На рисунках 24 и 25 представлены наиболее употребительные в современном проектировании разновидности КЭ с указанием векторов степеней свободы узлов.
В стержневых плоских (пространственных) КЭ возможны три (шесть) степени свободы: две (три) осевые x1, z1 (x1, y1, z1) по направлениям в системе координат на рисунке 24 и одна угловая (поворот) относительно оси y1 (три угловые относительно осей x1, y1, z1). Напряжённое состояние плоских (пространственных) стержней, определяемое по результатам расчёта, описывается продольной силой в направлении оси x1, поперечной силой в направлении оси z1 (поперечными силами в направлении осей y1, z1), изгибающим моментом относительно оси y1 (изгибающими моментами относительно осей y1, z1 и крутящим моментом относительно оси x1).
а) |
б) |
|
|
1, 2, 3…100 – номера узлов, – номера КЭ, – номера инженерно-геологических элементов
|
Рис. 24. Примеры членения расчётных схем (областей) на конечные элементы:
а – фрагмент полупространства, плоская деформация (прямоугольные КЭ); б – осесимметричная система (тело вращения) – свая круглого сечения, вдавливаемая в грунтовое основание осевой силой; стенка; 1 – пластинчатые КЭ, 2 – полосовая нагрузка, 3 – буронабивная свая, 4 – вдавливающая сила, 5 – плоскость (ось) симметрии; 6 – кольцевой КЭ треугольного сечения, 7 – границы геологических слоёв
а) |
|
б) |
|
Рис. 25. Плоский и пространственный стержневые КЭ
с тремя (1, 2, 3) и шестью (1, 2, 3, 4, 5, 6) степенями свободы в узле
При идеализации плоских и сплошных тел (сред) прилегающие друг к другу КЭ считаются шарнирно скреплёнными в узлах. Поэтому в узлах расчётных областей, напряжённо-деформированное состояние которых соответствует условиям плоской задачи приняты степени свободы по направлениям осей X и Z. Результатом расчёта таких систем являются нормальные σx, σz и касательные τxz компоненты напряжений (рисунок 26,а). В пространственных системах возможны перемещения по направлениям осей X, Y, Z, и в расчёте определяются все шесть компонентов напряжений: σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz (рисунок 26,б).
На рисунке 24,б изображено продольное сечение осесимметричной расчётной области (тела вращения) с кольцевыми КЭ треугольного сечения. Каждый узел такой системы имеет две степени свободы по направлениям X и Z, угловое перемещение относительно оси Z отсутствует. Определяемые компоненты напряжений (рисунок 26,в) – σx, σz, σθ, τxz. Так как по векторам степеней свободы рассматриваемая задача не отличается от плоской, то и решается по аналогичной процедуре.
Как будет показано в дальнейшем, деление сплошных тел (сред) на КЭ не сопровождается разрывами на контактах. Задачи решаются так, чтобы условие совместности перемещений выполнялось не только в общих узлах, но и на границах КЭ. Поля перемещений в сплошных упругих (линейно деформируемых) телах (средах) являются непрерывными (согласованными), а поля деформаций, напряжений, углов поворота могут иметь (и чаще всего имеют) разрывы на границах КЭ.
а) |
|
|||
б)
|
|
в) |
|
|
Рис. 26. Примеры плоских, пространственных и осесимметричного конечных элементов:
а – плоские треугольные трёх- и шестиузловой КЭ, прямоугольные четырёх- и восьмиузловой КЭ с двумя степенями свободы в узле; б – пространственные КЭ: тэтраэдр и параллелепипед с тремя степенями свободы в узле; в – осесимметричный КЭ (фрагмент тела вращения) треугольного сечения с двумя степенями свободы в узле; 1, 2, 3 – векторы степеней свободы.
Связь МКЭ с методом перемещений. Наиболее известный проектировщикам и исследователям, применяемый в строительной механике вариант МКЭ основан на процедуре метода перемещений. Уравнения, связывающие перемещения узлов на концах (вершинах) КЭ и силы, действующие по направлениям этих перемещений, известны из теории и определены заранее. Эти соотношения формируют общую (глобальную) систему уравнений, выражающую равновесие сил и неразрывность перемещений в общих узлах контактирующих КЭ. Расчёт заключается в формировании и решении системы уравнений, неизвестными в которой являются перемещения свободных от связей узлов.
Применительно к стержневым расчётным схемам рассматриваемый способ реализации МКЭ может рассматриваться как матричная форма метода перемещений, отличающаяся долее глубокой формализацией алгоритма в связи его ориентацией на использование ЭВМ.
Связь МКЭ с теорией упругости: общность и различия. В математической теории упругости существует ограниченное число решённых задач даже для однородных расчётных областей. Практическая значимость и привлекательность МКЭ связаны с возможностью получать решения научных и технических задач с любыми граничными условиями и такими усложняющими факторами как физическая неоднородность, взаимодействие с заделанными в линейно-деформируемую среду стержневыми элементами, внутренние разрывы сплошности.
Как известно, в теории упругости используются три группы определяющих уравнений:
– закон равновесия в форме дифференциальных соотношений частных производных внутренних напряжений;
– линейные геометрические соотношения Коши связи между перемещениями и деформациями, выражающие непрерывность и относительную малость перемещений;
– линейные физические уравнения (закон Гука) связи между напряжениями и относительными деформациями.
Кроме того, полученные решения должны удовлетворять уравнениям совместности Сен-Венана, выраженным через относительные деформации или напряжения.
В МКЭ (в отличие от теории упругости) статическое равновесие представлено уравнениями метода перемещений, выражающими равновесие узлов. Равновесие узловых сил и напряжений внутри КЭ описывается энергетическими соотношениями по принципу Лагранжа со следующей формулировкой.
Принцип Лагранжа. Если некоторое упругое тело находится в равновесии под действием внешних сил, то из всех мыслимых вариаций перемещений материальных точек этого тела действительными являются те, при которых потенциальная энергия системы (т. е. тела и приложенных к нему сил) будет иметь стационарное (минимальное) значение.
В настоящем учебном пособии доказательство принципа Лагранжа не приводится, и основанные на нём соотношения МКЭ записываются без вывода.
Геометрические соотношения Коши используются в МКЭ в своей классической записи в соответствии с уравнениями (1.19) и (1.22).
В МКЭ уравнения закона Гука используются в обратной записи: напряжения определяются в зависимости от деформаций. Причина этого станет понятной при чтении параграфа 2.2.4. Матричная форма соотношений закона Гука, принятая в МКЭ, приводится в таблице 7.
Таблица 7
Матричная форма уравнений закона Гука, принятая в МКЭ
Вид напряжённого состояния |
Записи уравнений |
Общий случай, пространственное напряжённое состояние |
|
Плоская деформация |
|
Осесимметрич-ное напряжённое состояние |
|
