Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800509

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

3.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 324 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

поток, падающий на поверхность сферического сегмента зеркала с

круговым	основанием	P	s2 r	s1 s
радиуса r равен			O	P
					F O

Ф1 I0 1 I0( r2 / f 2). (1)

При этом отраженный этим участком зеркала световой поток

				Ф Ф I r2								/ f 2 .					(2)
				2				1	0
		Будем рассматривать поток Ф2									как поток, исходящий от
изображения			P источника					в	пределах						телесного		угла
	2	r2 / S2 .	Потоку	Ф		соответствует сила света мнимого
	2	2		2
источника P , равная
			I Ф	/			I r2				s2		I	0	s2
								0			2			0	2	.	(3)
								f 2		r2						.	(3)
			2		2			f 2		r2			f 2

При подстановке выражения для s2 в (3), получаем

I I0 f 2 /( f s)2 .

Для I0=100 кд, s=20,0 см, f=25,0 см и =0,80 сила света

вотраженном пучке I=2,0·103 кд.

4.32.Рассмотрим сферическую поверхность радиуса R, разделяющую среды с показателями n1 и n2 (см. рис.).

Проведем прямую линию MN, проходящую через центр кривизны С сферической поверхности. Точку пересечения О назовем вершиной

поверхности. Расположим точечный источник света в некоторой точке Р оси MN на расстоянии s1 от вершины О. Допустим, что некоторый луч РА, исходящий из источника Р,

	n1	A			n2
	r1				r2
P	r1		h	R	P
M		O	В	C	N
	s1			s2

после преломления на поверхности пересекает прямую MN в точке P на расстоянии s2 от точки О. Чтобы точка P стала изображением источника P, лучи, идущие от точечного источника после преломления на поверхности Σ, должны пересекать прямую MN в одной и той же точке P . Согласно принципу Ферма оптические длины реального пути всех лучей, исходящий от Р и доходящих до точки P после преломления должны быть равны.

Рассмотрим пучок лучей, проходящих вблизи оси MN и удовлетворяющих условию PA PO. Такие лучи называются параксиальными. Согласно условию стационарности оптического пути, для всех параксиальных лучей пучка света, исходящих из точечного источника Р, имеем:

n1s1 n2s2 n1r1 n2r2 .						(1)
Из треугольников РАВ, АВP и АВС (см. рис.) следует:
r2		h2 (s		),		(2)
1			1
r	2	h2 (s		)2 ,		(3)
2			2
R2		h2 (R )2 ,				(4)
где =ОВ.
Равенство (4) даёт	h2 2R 2 .
						(5)
Подставляя (5) в (2) и (3), получаем:
r2	s2 2(s			R) ,		(6)
1		1	1
r2	s2		2(R s		) .	(7)
2		2		2
Представим равенства (6) и (7) в виде
(r1 s1)(r1 s1) 2(s1 R),						(8)
(r2 s2)(r2 s2) 2(R s2) .						(9)
Согласно условию			параксиальности			r1 s1 2s1,
r2 s2 2s2 и, следовательно,
r1 s1			(1 R/s1) ,			(10)
r2 s2			(R/s2 1) .			(11)

Вернемся к условию (1) и запишем его в виде

n1(r1 s1) n2(s2 r2).

(12)

Подставляем (10) и (11) в (12):

n1(1 R/s1) n2(1 R/s2) R(n1 /s1 n2 /s2) n2 n1

n /s n		2	/s	2	n2 n1	.	(13)

1	1				R

Во всех представленных выше формулах (1) – (13) метрические величины si,ri,R,h и имели смысл расстояний

и, следовательно, являлись положительными величинами. В геометрической оптике принято этим и другим некоторым величинам приписать определенный алгебраический знак.

Все отрезки вдоль прямой MN отсчитывают от поверхности , считая положительными отрезки откладываемые от О в направлении распространения света, а отрицательные – в обратном направлении. Тогда применительно к рассматриваемому случаю

\| s1 \| s1, \| r1 \| r1,\| s2 \| s2,\| r2 \| r2,\| R \| R.	(14)
С учетом (14) равенство (13) принимает вид:
n2 /s2 n1 /s1 (n2 n1)/R.	(15)
В обозначениях задачи s1 s,s2 s ,n1 n,n2 n .

Итак, закон преломления параксиальных световых лучей на сферической поверхности получает вид (15).

4.33. Заданные условия распространения световых лучей отображены на рисунке. Преломляющая поверхность представляет собой поверхность вращения некоторой кривой L вокруг оси ОХ. Оптическая разность хода для осевого луча 1 и произвольного луча 2 равна

AB n BF-n OF x n nf .

	r		n
2	A	B	n
2

1	O		F
1			x
			x
	x		L
			f

По принципу Ферма

x n nf

(1)

Расстояние между точками В(x,r) и F(f,0) равно

( f

x)2 r2 .

(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

( f x)2 r2 f x/n (n2 1)x2 2n(n 1) fx n2r2 0

n2r2

n 1

n2 1

(n 1)r

1 1

. (3)

(n 1)2

(n 1) f

n 1

Принимаем наименьший из корней (3)

(n 1)r2

(4)

n 1

(n 1) f 2

Координата х произвольной точки В имеет вещественные

значения

при

(n 1)r2

Максимально возможное

(n 1) f 2

значение

координаты

равно

xmax

nf /(n 1),

которому

соответствует максимальный радиус сечения параллельного пучка лучей, падающих на преломляющую поверхность

rmax (n 1) f /(n 1) .		(5)
Уравнение (2) можно привести к виду
(x p)2 / p2 r2	/(p/q)2 1	(6),
где p nf /(n 1),q2 n2 /(n2 1) .	Уравнение (6)	определяет

эллипс. Следовательно, искомая поверхность есть сегмент эллипсоида вращения.

4.34. Рассмотрим преломление световых лучей на вогнутой сферической поверхности раздела. При этом будем исходить из основной формулы преломления (15) задачи 4.32:

	n2	n1	(n2 n1)	.		A2
					A1

	s2 s1		R			F2
					C O
В заданном частном случае

n 1, n	2	n.	F1	R	O	F2
1	2			R

	Положим, что слева		F1 B1	f	R	B2
на	сферическую	поверх-	F1 B1			B2
ность вдоль оси OO падает						s1
узкий пучок параллельных			лучей (рис.). Тогда			s1	и
n/s2	(n 1)/R.	Отсюда	фокальный		отрезок	одного	из

фокусов преломляющей поверхности f1 s2 nR/(n 1) . Эту фокальную точку назовем передним фокусом и обозначим через F1. Для стекла n=1,5 и f1=-3R.

Теперь представим точечный источник на оси OO на таком расстоянии от вершины, на котором лучи, идущие от источника, после преломления станут параллельными. В этом случае s2 и фокусное расстояние второго (правого) фокуса

F2 равно	f2 s1 R/(n 1). Для стекла f2 2R .
И	наконец, представим параллельный пучок лучей,

падающих на сферическую поверхность под некоторым углом

к оси OO . Положение вершины преломляющей

поверхности изменится и вершина займет, например, положение О1. При изменении наклона и поворотах вокруг оси OO фокальные точки опишут соответствующие сферические, так называемые, фокальные поверхности А1В1 и А2В2 с общим центром С вместе с преломляющей поверхностью. Радиус

фокальной поверхности А1В1			равен	1 f1	R, радиус
поверхности А2В2	равен 2	f2	R.
Из верхних	строк	вытекает		способ	определения

направления преломленного луча. На оси OO , согласно условию (2), от вершины О откладываем в левую сторону отрезок OC f /3 и определяем центр С преломляющей поверхности. В плоскости сечения проводим дугу окружности радиуса 1 и прямую, параллельную заданному падающему

лучу и проходящую через центр С. Точка пересечения дуги и прямой дает положение фокуса F1 для косого пучка лучей.

Наконец, проводим еще одну прямую через точку F1 и точку падения луча. Преломленный луч направлен вдоль этой прямой (см. рис.).

4.35. Поскольку данная линза имеет толщину,

соизмеримую с радиусами сферических поверхностей, мы

вынуждены при определении направления лучей выходного

пучка учитывать преломление лучей на каждой из

сферических поверхностей 1

и 2

(см.рис.). При этом будем

исходить из основной

формулы преломления

n1 1

n2 1,5

n3 1

лучей

параксиального

пучка на сферической

поверхности

. (1)

В заданных условиях n1 = 1 (окружающая среда –

воздух), n2 = n = 1,5 (стекло) формула (1) примет вид

n	1	n 1	.	(2)

a2 a1		R

Преломление на первой сферической поверхности 1

создаёт изображение источника S1 в стекле на расстоянии a2 от вершины A1. Из (2) следует что

a2 =

na1R

(3)

(n 1)a1 R

С учётом знаков для a1 и R и числовых данных a1 = 20см, R = 5см получаем

a2 =	1,5( 20)5		30см.
	(1,5 1)( 20)
		5

Расстояние между изображением S1 и

вершиной A2

второй поверхности 2 равно

a1 a2 , где

- расстояние

между вершинами A1

и A2 . Применяем снова формулу (2):

1 n

n 1

( ( a2))

( R)

1,5 1

1,5

5 30

Отсюда à3 =6,25 см 6,3 см.

Итак, изображение источника находится от задней поверхности данной линзы на расстоянии à3 6,3 см.

4.36. Полагаясь на закон преломления лучей параксиального пучка на сферической поверхности раздела

сред

n2 n1

, найдем положения фокусов

F ,

F и

предмета

A1B1 относительно

заданной оптической

системы

(см. рис.1).

n2 =n,

n1 =1

Здесь

и,

следовательно,

формула

преломления получает вид

n 1

(1)

Рис.1. Рис.2.

1) При a	2		a	1	f	1	и		1		n 1	. Отсюда f			R	.
	2			1		1		f	1		R		1		n 1

Для n=1,5 и R=2,5 см АF1 f1 5см, где точка А - вершина преломляющей поверхности.

2) При a

= f

n 1

, т.е. f

. В

n 1

частности, f2 =7,5 см.

3) При a2 =d, где d - заданное значение, из (1) имеем

а1

(2)

nR (n 1)d

Из рис.1. видно, что отношение поперечных линейных

размеров изображения и предмета

(n 1)d

)

a1 f1

и, следовательно, относительное увеличение

(n 1)d

Для заданных значений n, d, и R увеличение

1 0,5 9 0,20. 1,5 2,5

Теперь определим освещенность наблюдаемого на экране изображения при известной яркости L предмета. Для этого светящийся предмет представим в виде кружочка радиуса y и площадью y2 (см. рис.2). Световой поток, исходящий от предмета и направленный на входное отверстие линзы, равен

				Ф=L· Ω·Δσ·cosθ.			(3)
Для		параксиального			пучка	лучей	cosθ 1 и
	D2	/ a	2	. Этот поток	распределяется на		поверхности

4		1
				площадью y 2 ,
изображения						создавая	освещенность

E Ф/ . При подстановке указанных величин в это выражение получаем:

D2		y2	L D2
E L				.
E L	4a2	y 2	4 2a2	.
	4a2	y 2	4 2a2
1			1
Произведение

a [1 (n 1)d / nR]	Rd	=	d	.
a [1 (n 1)d / nR]		=		.
1	nR (n 1)d		n
	nR (n 1)d		n
Итак, освещенность

E n2 D2 L . 4d2

Для заданных n, D, L и d Е=42 лк.

4.37. Согласно формулам 4.1к [1] и 4.1з [1] оптическая сила и фокусные расстояния тонкой линзы, помещенной в среду с показателем преломления n0 , равны:

Ф (n n			)(		1				1	)	(1)
					R
		0							R
и					1		2
						n0
f	2	f		1				.			(2)

							Ф
где n- показатель преломления			материала линзы								(стекла);

R1,R2 - радиусы сферических поверхностей линзы.

В случае воздушной среды (n0 1) оптическая сила линзы

Ф (n 1)(				1		1		) .

0			R1			R2
Отсюда
					Ф0
	1	1					.

	R1 R2				n 1

Следовательно, оптическая сила линзы в данной среде

Ф n n0 Ф0 . n 1

Для n=1,5; n0 =1,7 и Ф0 =-5дптр искомая оптическая сила

Ф=2дптр. Выходит, что рассеивающая линза в воздухе при её погружении в среду n0 >n станет собирающей.

Фокусные расстояния линзы в заданной среде, согласно

(2), равны f2 f1 1,7/2,0 0,85м.

4.38. Решение задачи осложняется тем, что среды по обеим сторонам линзы имеют разные показатели преломления. Поэтому в первую очередь выведем более общую формулу тонкой линзы, исходя из формулы преломления на сферической поверхности. Показатель преломления материала линзы

обозначим через n. Показатели преломления сред слева и справа от линзы обозначим соответственно через n1 и n2 . Построим изображение точки М, лежащей на главной оптической оси на расстоянии а1 от линзы (см. рис.). Построение изображения точки М на тонкой линзе осуществим следующим образом: построим сначала изображение точки на одной (первой) поверхности, затем, рассматривая это изображение как источник, построим его изображение на второй поверхности. Соответствующее построение показывает положение изображения М1 точки М на первой поверхности на расстоянии М1 A = a от этой поверхности. Тогда, согласно формуле сферической поверхности, имеем:

n1	n	n1	n
				.	(1)
a1	a
		R1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 324 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20223.75 Mб16Учебное пособие 800504.pdf
#
01.05.20223.75 Mб37Учебное пособие 800505.pdf
#
01.05.20223.76 Mб2Учебное пособие 800506.pdf
#
01.05.20223.78 Mб5Учебное пособие 800507.pdf
#
01.05.20223.82 Mб3Учебное пособие 800508.pdf
#
01.05.20223.85 Mб5Учебное пособие 800509.pdf
#
01.05.2022379.59 Кб1Учебное пособие 80051.pdf
#
01.05.20223.86 Mб6Учебное пособие 800510.pdf
#
01.05.20223.88 Mб4Учебное пособие 800511.pdf
#
01.05.20223.88 Mб20Учебное пособие 800512.pdf
#
01.05.20223.94 Mб4Учебное пособие 800513.pdf