Пластинка вырезана параллельно ее оптической оси. Пусть
показатели |
преломления |
n0 |
и ne |
для |
обыкновенного и |
необыкновенного лучей |
в |
пластинке |
отвечают условию |
ne n0 . |
Поскольку оптическая |
ось |
перпендикулярна |
падающему пучку лучей, обыкновенный и необыкновенный лучи в пластинке не разделяются и распространяются в том же направлении, что и падающий луч. В целом, все лучи, о которых пойдет речь дальше, направлены вдоль одной прямой
(оси Z ).
Частично поляризованный свет будем представлять как несогласованную совокупность естественной и линейно поляризованной составляющих света одной и той же частоты. В свою очередь, естественную компоненту света будем рассматривать как наложение двух некогерентных линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях
волн, амплитуды которых по модулю равны. |
|
|
|
|
Охарактеризуем |
естественную |
составляющую |
света |
амплитудами |
A|| |
, A |
( A |
|| = A ) |
и |
интенсивностью |
I |
1 |
, |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
A2 |
|
|
поляризованную |
составляющую |
– |
амплитудой |
|
и |
интенсивностью I2 .
В первом опыте, когда пластинка отсутствовала, а поляризатор был ориентирован на минимум интенсивности
света, интенсивность |
определялась величиной |
I0 . |
Свяжем |
|
|
A1 |
|| |
|
|
|
направление |
вектора |
с направлением оптической |
оси |
поляризатора. |
В этом |
случае компоненты |
A |
и |
A |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
поляризатором не пропускаются. Отсюда следует, что
A1|| = A1 =
I0 / ,
где - коэффициент пропорциональности между интенсивностью и амплитудой волны (I A2 ); (I1 2I0 ).
Степень поляризованности падающего света определим выражением
I2 /(I1 I2 ) I2 /(2I0 I2 ) .
а) X |
|
|
б) X |
O |
|
|
П |
P O |
|
φ O1 |
|
|
|
|
Z |
|
Ee |
Y |
O |
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
φ |
|
A2 |
|
|
|
O1 |
|
|
|
O |
|
E0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
Рис.1
Неизвестную величину I2 найдем из условия I I0 , где I -
интенсивность света на выходе системы пластинка – поляризатор. Величина I должна определяться через I0 и I2 с
учетом ориентации оптической оси пластинки.
Теперь проследим за прохождением через систему естественной и поляризованной компоненты в отдельности. При этом будем учитывать, что световые колебания поляризованной компоненты исходного пучка совершаются перпендикулярно оптической оси поляризатора; угол между плоскостями пропускания пластинки и поляризатора 45 . Применительно к введенной системе координат, падающий пучок света определяется уравнениями:
|
|
|
|| |
e |
|
A|| cos( t kz |
|
), |
(1) |
|
|
|
E |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
E1 e |
y |
A |
cos( t kz |
2 |
), |
(2) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
E2 ey A2 cos( t kz). |
|
|
|
(3) |
Здесь |
1 |
и |
2 - |
случайные фазы, |
подчеркивающие |
некогерентность всех трех волн, которые можно опустить. |
|
1) Прохождение поляризованной составляющей (рис.1). |
При падении |
волны |
E2 ey A2 cos( t kz) |
|
|
в пластинке |
с |
оптической |
осью |
O1O1, |
|
|
возникают обыкновенная волна |
|
|
|
|
|
|
|
242 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
E0 A2 |
cos cos( t kz) |
|
|
и |
|| |
|
П |
P O |
необыкновенная |
|
|
волна |
A1 |
|
|
|
|
|
Ee A2 |
sin cos( t kz /2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Разность |
фаз обусловлена |
|
|
|
|
|
|
A1┴ |
|
|
|
|
|
оптической |
разностью |
|
хода |
|
|
|
|
|
O |
лучей oи |
|
e, |
|
равной |
|
|
|
|
|
|
Рис.2 |
|
|
|
2 |
(n |
e |
n |
0 |
)d m |
0 |
|
0 |
/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для пластинки в четверть волны).
Для 45 уравнения для E0 и Ee имеют вид:
E0 (A2 / |
2)cos( t kz), |
(4) |
Ee (A2 / 
2)cos( t kz /2) (A2 / 
2)sin( t kz) . (5)
Отметим, что волны (4) и (5) когерентны. Из уравнений
(4) и (5) видно, что на выходе из пластинки имеем циркулярно поляризованную волну левой ориентации и амплитудой
A2 / 
2 .
При прохождении волны, определяемой уравнениями (4) и (5), через поляризатор P будем иметь следующие составляющие волны, световые колебания которых совершаются вдоль оптической оси OO поляризатора:
E' Ee cos , E" E0 sin . |
Для 45 |
|
E' Ee / |
|
(A2 /2)sin( t kz), |
(6) |
2 |
E" (A2 /2)cos( t kz) (A2 /2)sin( t kz /2). |
(7) |
Квадрат амплитуды результирующего колебания равен
Em2 A22 /2, а соответствующая интенсивность
I |
2 |
' A 2 |
/2 I |
2 |
/2. |
(8) |
|
2 |
|
|
|
2)Прохождение естественной составляющей (Рис.2).
243
Для компоненты E1 тот же путь преобразования, что и составляющей E2 . В этом случае надо формулу (8) переписать в виде:
I1 ' (E1 |
)2 |
/ 2 I0 |
/ 2 . |
(9) |
При 45 оптическая |
ось |
пластинки |
симметрична |
относительно направлений A1 |
|| |
|
|
|
|
и |
|
A1 , |
поэтому картинка |
взаимного положения векторов амплитуд составляющих волн за пластинкой будет такой же, что и на рис.1б. Следовательно, также можно написать
I1" I0 /2. |
|
|
|
(10) |
Как уже отмечалось, все три компоненты E |
|| |
, |
E |
и E |
2 |
1 |
|
1 |
|
падающей волны некогерентны между собой, поэтому на выходе из системы интенсивности соответствующих составляющих арифметически складываются:
I I2 ' I1' I1" I2 /2 I0 . |
|
Из условия I I0 |
получаем I2 2( 1)I0 . |
Степень |
поляризации падающего на систему света |
|
P I2 |
/(I2 2I0 ) ( 1)/ . |
(11) |
Для 2, P 0,5. |
|
|
4.206. При падении светового луча на одноосную двулучепреломляющую пластинку в ней возникает два луча, поляризованные во взаимоперпендикулярных направлениях. Луч, световой вектор которого колеблется параллельно оптической оси пластинки называют необыкновенным (луч e); луч с колебаниями светового вектора перпендикулярно оптической оси пластинки называют обыкновенным (луч o). При нормальном падении луча на пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, лучи o и e не разделяются и распространяются вдоль одной прямой с падающим. На пути внутри пластинки толщиной d возникает разность фаз лучей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o и e, равная |
|
2 |
(n |
e |
n |
o |
)d , определяемая |
оптической |
|
|
|
|
|
|
|
|
разностью хода |
(ne |
no )d . Для кварцевой |
пластинки |
ne no и фаза луча e отстает от фазы луча o. Лучи o и e на
выходе из пластинки создают волну, если говорить в общем, имеющую эллиптическую поляризацию. В частных случаях, при падении на пластинку линейно поляризованного света, на выходе из пластинки образуется также линейно поляризованная волна, но с другим направлением поляризации, или волна с круговой поляризацией. Характер поляризации волны за пластинкой определяется разностью фаз лучей o и e, и углом φ между плоскостью поляризации падающего луча и главным сечением пластинки.
Если 45 , то амплитуды колебаний электрического
вектора лучей o и e будут равны. |
Добавляя к этому еще одно |
условие /2 , на выходе |
из пластинки получим |
циркулярно поляризованную волну. Имея линейно поляризованную волну с помощью пластинки при разности фаз лучей o и e, и любом получим также линейно поляризованную волну, плоскость поляризации которой повернется на угол 2 по отношению к плоскости поляризации падающей волны.
Исходя из приведенных замечаний, получим решения задачи. При этом от разности фаз перейдем к оптической разности хода лучей o и e.
а) При сохранении линейной поляризации должно выполняться условие
(n n )d m |
|
, |
(1) |
|
e |
o |
2 |
|
|
где m- натуральное число. |
|
|
|
|
По условию d d0 |
0,50мм. |
Максимальная толщина пластинки достигается при |
m mmax . |
Из (1) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
e |
n |
o |
)d |
|
|
1 |
|
|
mmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Для желтой линии |
589нм показатели преломления |
кварца для лучей o и |
|
e |
|
равны: ne |
|
|
1,553; no |
1,544. Имея |
d0 , получим |
|
|
7,64 0,5 7,14 7. |
|
mmax |
|
Возвращаясь к формуле (1), найдем |
|
|
dmax |
|
(mmax |
0,5) |
|
0,49мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ne |
no |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Линейно поляризованная волна преобразуется в волну, |
поляризованную по кругу при 45 и условии |
|
|
(ne |
no )d m /4. |
(2) |
Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
e |
n |
o |
)d |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
mmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,39 7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
dmax |
|
(mmax |
0,25) |
0,475мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ne |
|
no |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.207. Схема системы для изучения проходящего через нее естественного или линейно поляризованного света приведена на рис.1. Система состоит из двух поляризаторов и кварцевой пластинки, помещенной между поляризаторами. Плоскость пропускания колебаний первого поляризатора P образует с оптической осью пластинки угол 45 .
На рисунках 1 и 2 показано взаимное расположение плоскостей пропускания P и P' первого и заднего поляризаторов и оптической оси OO пластинки. Пусть амплитуда колебания в луче, прошедший первый поляризатор, есть E . После прохождения пластинки будем иметь лучи o и
P |
O |
P' |
|
P |
φ=450 |
|
|
P |
φ |
|
пад. |
|
|
|
Ee, |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
луч |
|
|
Eo |
|
Е’ |
|
E |
O |
Eo |
E Ee |
α |
|
|
|
|
|
|
|
Eo |
Ee |
E2' |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
O |
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
|
|
Рис.2 |
|
|
Рис.3 |
|
e с амплитудами Eo |
E / |
|
, |
Ee E/ |
|
|
при |
45 |
и |
2 |
2 |
|
разностью |
фаз |
|
2 (ne no )d / 2 n d / , |
где |
d - |
толщина пластинки.
Допустим, второй поляризатор установлен так, что его плоскость пропускания колебаний P' образует с оптической осью пластинки угол . Этот поляризатор пропустит составляющие
E1' Ee cos (E/ 
2)cos
и
E2 ' Eo sin (E /
2)sin .
Знак минус привносит дополнительную разность фаз, равную , и, следовательно, полная разность фаз между колебаниями составляющих равна ( ).
Итак, на выходе из системы имеем две когерентные и поляризованные в одном направлении волны с амплитудами
(E / 2cos ) |
и (E / 2)sin , и разностью фаз |
( ). |
Интерференция этих волн даст результирующую волну, квадрат амплитуды которой равен
|
E'2 E '2 |
E |
|
'2 2E 'E |
|
'cos( ) |
1 |
E2 |
cos2 |
1 |
E2 sin2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2(E2 /2)sin cos cos( ) |
E2 (1 sin 2 cos( )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
E2 (1 sin 2 cos ). |
(1) |
|
2 |
|
|
Интенсивность этой волны
I' |
1 |
I(1 sin 2 cos ), |
(2) |
|
2 |
|
|
где I - интенсивность света, пропущенного первым поляризатором.
По условию интенсивность I' не должна зависеть от . Это возможно, когда cos 0, т. е. для /2 k , где k с физической точки зрения принимает значения 0,1,2,… . Выражая , получим:
2 n d (k 1) 4 n d ,
а также
k1 (4 n d 1). 2
Для крайних длин волн |
1' 0,50мкм |
и 2 ' 0,60мкм |
спектрального интервала найдем значения k : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 n d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 17,5 17 ; |
|
|
|
|
|
|
2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 n d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 14,5 14 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Длины волн, соответствующие k1 и k2 : |
|
|
|
|
|
|
4 n d |
18/35мкм =0,51мкм, |
'; |
|
|
|
1 |
|
|
2k |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 n d |
18/29мкм =0,62мкм, |
2 |
|
2 |
'; |
|
|
|
|
|
2k2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Длина волны 2 |
выпадает из данного интервала. Поэтому |
следует взять k =15,16 и 17. Для k =15 =0,58мкм; для k =16
=0,5мкм.
Итак, интенсивность света, прошедшего данную систему, не будет зависеть от поворота заднего поляризатора для длин волн 0,5; 0,51 и 0,58мкм.
4.208. Предложенная оптическая система аналогична рассмотренной в задаче 4.207. Данная система отличается от предыдущей тем, что поляризаторы в этом случае скрещенные. Полагая в формуле (2) задачи 4.207 45 ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим I E2 |
sin 2 /2. Интенсивность I =0, |
если sin |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
т.е. |
2 k |
(1), |
где |
k =1,2,3,… . |
|
Разность |
фаз |
2 (ne n0 )d / . |
Из условия (1) |
имеем |
k ne |
no d / . |
Для |
крайних |
длин |
волн |
1 0,55мкм |
и |
2 |
0,66мкм |
спектрального |
интервала |
получим: |
|
k1 24,5 24; |
k2 20,5 20. |
Из характера зависимости |
k от линия, |
соответствующая k =20 выбывает. |
Следовательно, линии, |
отвечающие значениям k =24,23,22,21 составляют набор, для которых интенсивность на выходе из системы равна нулю. Таких линий в заданном интервале N =4.
4.209. Принято одноосную кристаллическую пластинку называть четвертьволновой, если оптическая разность хода в пластинке для обыкновенного (o) и необыкновенного (e)
лучей удовлетворяет либо условию |
|
ne no d k' /4 k' 0,25 , |
(1) |
либо условию
ne no d k" 3 /4 k" 0,75 .
Здесь k' и k"- натуральные числа. Этим значениям разности хода для лучей o и e соответствуют разности фаз 90 и 270 . Для этих значений разности фаз интенсивность результирующей волны I одинакова и I Ie Io . Из условий
(1) и (2) получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k' |
n d |
0,25, k" |
n d |
0,75; |
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
n d |
, " |
|
n d |
. |
|
|
|
|
|
|
|
k' 0,25 |
k" 0,75 |
Для волны 0,53мкм порядковое число k' 4. Спектральный интервал белого света определим
шириной от |
0,39 до 0,70 мкм. Для левой границы спектра |
0,39мкм |
приближенно |
k' 5. |
Однако |
точно |
четвертьволновой пластинка будет для волны |
|
|
5 ' |
n d |
0,43мкм. |
|
|
5 0,25 |
|
|
|
|
|
|
Если взять k' 2 линия 2 ' выходит за пределы спектра. Теперь положим k" 4. Длина волны
n d
4" 4,75 0,47мкм.
Для k"=2,3 и 5 получим:
n d
2" 2,75 0,82мкм;
n d
3" 3,75 0,60мкм;
n d
5" 5,75 0,39мкм.
Линия 2" выпадает из видимого спектра.
Итак, кроме линии 0,53мкм нашли еще пять линий:
0,39; 0,43; 0,47; 0,60; 0,69 мкм, принадлежащие видимому спектру и которые позволяют считать данную кристаллическую пластинку четвертьволновой.
4.210. Система, составленная из двух поляризаторов и кварцевой пластинки, во многом описана в задаче 4.207. Воспользуемся результатом (2) той задачи:
