Учебное пособие 800509

4.111. Радиус внешней границы k-той зоны Френеля

определяется выражением ρk= ab k (см. уч-к И.В. a b

Савельева «Курс общей физики», т.2). Отсюда находим расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения при известных значениях остальных величин: b=a k2 /(kλa - k2 ).

Для λ=0,50 мкм, a=100 см, k=3, ρ3=r=1,0 мм расстояние b =2,0 м.

4.112. При дифракции света от круглого отверстия максимум освещенности в центре экрана наблюдения отмечается в том случае, если на открытой части волновой поверхности, в заданных геометрических условиях, укладывается нечетное число зон Френеля. Известно, что для значений r1 и r2 радиуса отверстия наблюдается два последовательных максимума. Допустим при этом, что для r1 на отверстии укладывается (2N-1) зон, тогда для радиуса r2 расположится (2N+1) зон. На основании формулы

ρk= ab k (см. задачу 4.111) можем написать: a b

2ab

Для заданных значений исходных величин длина волны

λ = 0,60 мкм.

131

4.113. Представление о распределении освещенности, создаваемой на экране дифрагирующей волной, можно получить, пользуясь графическим методом сложения, амплитуд колебаний в месте наблюдения. Разбивая на элементы открытую часть фронта падающей волны, а затем складывая колебания, приходящие в точку Р от элементов разбиения поверхности Σ (рис. 1), необходимо учитывать амплитуду и фазу колебаний.

Рассматривая дифракцию плоской световой волны от круглого отверстия, мы будем разбивать волновую поверхность Σ на коль угодно узкие кольцевые зоны, обозначая радиус и ширину i-й зоны через ρi и Δρi. Пусть амплитуда колебания, приходящего в точку Р от i-й волновой

замыкающим отрезком ломаной линии (рис. 2). Будем считать радиус R отверстия диафрагмы очень малой величиной по сравнению с расстоянием «b» до точки Р. Это позволит нам для малых углов α пренебречь зависимостью элементарной

направлением к точке Р. Условимся осуществлять разбиение поверхности Σ на кольцевые зоны так, чтобы в пределах малых углов α площади колец были равными i 2 i i

всех i.

Далее, начальную фазу колебаний от первой центральной зоны примем за ноль. Тогда начальная фаза i-го колебания будет равна

i (2 / ) i (2 / ) ( i2 b2 b) i2 /b .

При переходе от края одной зоны к краю последующей зоны вектор ai получает поворот на угол:

т.е. на один и тот же угол.

Следовательно, цепочка геометрического сложения векторов ai будет располагаться практически на дуге ОВ

окружности некоторого радиуса А0 (см. рис. 2). Модуль суммарного вектора равен

где R - радиус отверстия.

Поскольку интенсивность света I пропорциональна квадрату амплитуды колебаний светового вектора, то для этой величины можем написать выражение

где р - коэффициент пропорциональности.

Из формулы (1) видно, что при увеличении R (или изменении «b») мы будем наблюдать в точке P смену максимума интенсивности на минимум и, далее, наоборот.

133

соответствовать открытому фронту волны, а вектор OO получает смысл амплитуды A0 падающей плоской волны интенсивности

b Для λ=640 мм, R=1,20 мм, b=1,5 м имеем:

m=R2/bλ=3/2, cos 3 0, I=2I0.

2

4.114. Воспользуемся формулой (5) задачи 4.113

I=4pА02(sin2(m /2) =4I0sin2(mπ/2).

а) m=1, I=4I0; m=1/2, I=4I0(2 /2)2 2I0

б) при перекрытии отверстия в непрозрачном экране наполовину, амплитуда проходящей волны уменьшается вдвое, А0 А0 /2. Тогда интенсивность светового потока,

отмечаемая в точке Р, для m=1 равна

I=4pA02Sin2 /2 4p(A0 )2 pA02 I0 .

2

4.115. Приведем решения вопросов а) и б) задания.

а) Падающую плоскую волну с амплитудой A0 мысленно поделим на две волны равных амплитуд, A10 A20 A0 /2.

При этом одну из них (назовем ее первой) будем рассматривать как волну, распространяющуюся беспрепятственно до экрана наблюдения. Вторую – как дифрагирующую на полном диске, закрывающем центральную зону Френеля. Тогда амплитуда колебаний в точке Р, обусловленных этими волнами будут равны А0/2 и А2/2, где А2

– амплитуда колебания, приходящего от второй зоны Френеля второй волны. Векторы А0/2 и А2/2 имеют противоположные

135

векторов Am в новое положение В (см. рисунок). При этом формула для амплитуд получает вид

(первая зона уже рассмотрена).

По этой формуле для m=2 и m=3 находим: А2=2А0 ,

А3=-2А0 . Отсюда видно, что радиус внешнего витка векторной диаграммы амплитуд А0 2А0 /2.

Итак, интенсивность дифрагирующих лучей, отмечаемая в точке Р, равна I=I0/2.

136

Поделим фронт плоской световой волны, совмещенный с плоскостью П, на кольцевые зоны Френеля. Сначала покажем, что площади зон фронта плоской волны одинаковы и, следовательно, амплитуды колебаний по модулю от каждой из зон также равны между собой. Из рис. 1б видно, что разность хода лучей ОР и МР в пределах выемки равна:

k=rk - b=b2 k2 b b(1 k 2 /b2 1). Для ρk<<b

к= k2 /2b.

Положим k=kλ/2, k=1,2,…, тогда ρ2k kb .

Площадь k-го кольца

Площадь волновой зоны Френеля не зависит от ее порядка k. При увеличении порядка «k» конец В замыкающего

138

скачок на Δφ=2π(n-1)h/λ, где h – произвольная высота выемки. Пусть при некотором значении h точка B займет положение B1. При увеличении порядка «k», начиная от k=3/2,

конец В1 вектора OB1 будет описывать следующие витки спирали и при k→ ∞ точка В1 займет положение фокуса F.

Пусть при некоторых значениях глубины выемки h, вследствие скачка фазы на её краю точка В занимает положение В1, В2 и т.д. При этом амплитуда колебания в точке Р, обусловленная действием периферийной части пластинки

будет определяться векторами B1F , B2F и т.д. Амплитуда результирующего колебания в точке Р будет, например, равна

Aрез =OB +B2F . Вполне очевидно, что модуль Арез получит

максимальное значение, когда вектор B2F будет иметь то же

направление, что и вектор OB . Эта ситуация возможна при скачке фазы на краю выемки на

3 /4 2k ,

где k=0,1,2,…(с одной стороны). С другой стороны,

2 (n 1)h.

Из равенства

2 (n 1)h 3 2k

4

получаем:

h (k 3\8) /(n 1), k=0,1,2,…

Для n=1,5 и = 0,60 мкм.

h1,2(k 3/8)мкм.

Вслучае минимальной интенсивности света в точке Р

векторы BnF и OB должны иметь противоположенные

139

направления (на рис.2 вместо вектора BnF показан вектор

B3F ). При этом:

3 2k 2(k 7) ,

48

аравенство принимает вид:

2 (n 1)h 2(k 7) .

8

Отсюда имеем

h (k 7) /(n 1), где n=0,1,2,…

8

При тех же значениях n и :

h 1,2(k 7)мкм. 8

Теперь найдём глубину h выемки, при которой интенсивность света в точке Р будет равна интенсивности падающего света. Это возможно в том случае, когда

4.118. На рис.1 отображены заданные условия, а на рис.2

– векторная диаграмма амплитуд, согласно условиям задачи,

вектор OB определяет амплитуду колебаний в точке Р, обусловленного действием вторичных волн, соответствующих

140