Учебное пособие 800509

выемке; вектор B1B2 – амплитуду на второй половине зоны Френеля; далее свет загораживается экраном.

Угол 2 (n 1)h/ определяет скачок начальной фазы лучей при переходе на другую произвольную толщину пластинки. Амплитуда результирующего колебания в точке Р

будет равна Ap =OB +B1B2 . Естественно, модуль Арез получает максимальное значение, когда вектор амплитуды второй

половины зоны Френеля будет сонаправлен вектору OB , т.е. когда скачок фаз

3 2k , k=0,1,2,…

2

Тогда на основании равенства 2 (n 1)h/ 3 /2 2k получим

h (k 3/4) , где k=0,1,2,…

n1

Вэтом случае Ap 2OB 22A0 и, следовательно

I /I0 (Ap / A0)2 8, т.е. Imax 8I0 .

141

Рис.1 4.119. На рис.1 отображены заданные условия. На рис.2

показаны: A0 - амплитуда колебаний в точке Р для полностью открытого волнового фронта при отсутствии каких-либо

препятствий; OB – вектор амплитуды колебания, обусловленного действием вторичных волн от нижней поверхности диска. Вторичные волны за краем диска опережают по фазе центральные волны на 2 (n 1)h/ . На краю диска возникает скачок фазы. При этом на диаграмме

вместо вектора BF будем иметь вектор B1F . При увеличении толщины h угол Δφ растет и при достижении значения 5π/4

вектор B2F будет иметь то же направление, что и вектор ОВ . Этому будет соответствовать максимум модуля, т.е. наибольшая интенсивность света в точке Р.

Из этого условия получаем:

собирающая линза системы (рис.1) должна дать вблизи фокальной плоскости светлое пятнышко, а на экране Э – более или менее равномерно освещенный круг с центром в точке P. Однако, вследствие дифракции световой волны с длиной

142

~ (ρ - радиус отверстия в диафрагме) в окрестности точки P можем наблюдать как минимум, так и максимум освещенности, в зависимости от радиуса ρ и расстояния «b» до экрана. Найдем условие наблюдения максимума освещенности в точке P при заданном значении расстояния «b». При этом обратим внимание на особенности волновой поверхности ∑ у отверстия диафрагмы. В данном случае сферическая поверхность ∑ радиуса ƒ по отношению к точке P обращена вогнутой стороной, что отличает от общепринятого рассмотрения дифракции Френеля.

Обозначим радиус края k-той зоны Френеля, совпадающего с краем отверстия через fk , высоту соответствующего сферического сегмента через hk (см. рис.2).

Из геометрических соотношений напишем равенства

Для малых значений порядка k: 2(b f )hk kb , или

Подставляя (1) в выражение

143

Для нечетный значений k=1,3,5… b в точке P будем отмечать максимумы освещенности.

4.121. Подобие дифракционных картин для разных расстояний до экрана «b» и «b'» будем понимать в том смысле, что если в центральной точке P экрана в первом случае наблюдается максимум (минимум) освещенности, то и во втором случае должен быть максимум (минимум).

При дифракции плоской волны на круглом отверстии радиуса ρ в точке P будет иметь место максимум (минимум), если выполняется условие

k b , где k=1,2,3… .

При изменении расстояния «b» до экрана на «b'» дифракционная картина будет подобна первой, если радиус отверстия

Для b=9м и η=3 расстояние до экрана будет равно b'=1м.

4.122. Определим число зон Френеля для точки P, перекрытых шариком, для волны, исходящей от центра O

Следовательно, в точке P амплитуда колебания равна

A102 . Поскольку размеры источника и шарика весьма малы по

2

144

4.123. Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если на пути световой волны поставить пластинку, которая перекрывала бы все четные или нечетные зоны, то интенсивность света в точке P резко возрастает. Такая пластинка, называемая зонной, действует подобно собирающей линзе. Фокусное расстояние такой линзы

Ещё большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на π путем формирования соответствующего рельефа на прозрачной пластинке.

Изменение положения точка P (расстояния «b») вдоль оси симметрии приводит к изменению числа зон Френеля на заданной поверхности пластинки. Поэтому наряду с фокусом, определяемым по формуле (1) существуют и другие фокусы.

4.124. В задаче рассматривается дифракция плоской световой волны на плоскопараллельной пластинке с уступом (рис.1). Требуется найти значения высоты h уступа, соответствующие минимуму освещенности экрана в точке P, а

146

где n-показатель пре-ломления стекла. Для n=1,5 h .

Вследствие скачка фазы начальная точка O левой ветви спирали Корню окажется в другой точке, например, в точке O1, при некоторым значении высоты h отступа. При этом вектор результирующего колебания в точке P будет равен

(2)

который представим в виде Ap F201 F2O, поскольку

F20 OF1 . В справедливости равенства (2) можно убедиться

путем сложения амплитуд da' и da для бесконечно узких полосок волнового фронта слева и справа относительно

Ao O1O A0 Ao OO1 A0 F2O1 A0 F2O1 OF1

Вполне очевидно, что модуль результирующего вектора

Ap будет минимальным, когда конец O1 вектора F2O1 будет

противоположен вектору OF1 . Этому будет соответствовать

147

разность фаз для колебаний с амплитудами F2O2 и OF1 ,

предположить, что выполнение условия (6) возможно, если

Выясним, на сколько отвечает наше предположение условию

(6).

0,6, 0,1(см. кн: С.Э.Фриш, А.В. Тиморева. Общий курс физики. т.3). Отсюда получаем:

F2O1 (0,6 0,5)2 (05 0,1)2 0,41;

A0 F2O 0,52 0,52 0,70;

0,412 0,702 2 0,41 0,70 1 0,95. 2

При этом

148

Результат (7) приближенно отвечает условию (6). Учитывая сделанные пояснения, можем написать:

где k=0,1,2,… .

4.125. На рис. 1 показано положение некоторый точки P относительно края O геометрической тени. На рис. 2 приведен примерный вид спирали Корню, F1,F2 - фокусы спирали. Координаты произвольной точки спирали определяются интегралами Френеля:

где υ – параметр, изменяющийся от нуля до бесконечности и имеющий смысл криволинейной координаты вдоль ветвей спирали и отсчитываемой от точки O. Фокусы F1,F2 спирали

Рис.1 Рис.2

имеют координаты 1 . 2

149

Из рис.2 видно, что максимум или минимум интенсивности в точке P будут определяться амплитудами

путем измерений их длин на рис 4.24 сборника задач. В

симметрично, относительно точки O. Для точек M1 , M1'

150