7. Расчет на прочность осесимметричных

ОБОЛОЧЕК

7 .1 Тонкостенные безмоментные оболочки

7.1. Проверить прочность газгольдера (рис. 7.1) заполненного газом под давлением q=1,5 МПа. Материал газгольдера – низколегированная сталь с пределом текучести МПа, требуемый коэффициент запаса =1,8 МПа. Использовать энергетическую теорию прочности.

Рис. 7.1

Решение

Как известно, в точках стенки тонкостенных резервуаров возникает плоское напряженное состояние, и, поскольку задано значение требуемого коэффициента запаса, условие прочности будет иметь вид:

,

где - эквивалентное напряжение в опасной точке стенки газгольдера. Согласно энергетической теории прочности [I]

= .

Здесь и - соответственно окружное и меридиональное напряжения.

Таким образом, для определения требуется предварительно определить значения и .

Газгольдер состоит из цилиндрической части и полусферических днищ.

Определим значения окружных и меридиальных напряжений для цилиндрической части, то есть и . Мысленно рассечем газгольдер в цилиндрической части поперечным сечением и рассмотрим равновесие отсеченной, например, правой части (рис. 7.2). Запишем уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось симметрии z. При этом получим:

.

Рис. 7.2

Отсюда следует, что

МПа.

Для определения используем уравнение Лапласа [I], из которого с учетом того, что , находим

МПа.

Определим теперь значения окружных и меридиональных напряжений для днищ, т.е. и .

Из симметрии сферической оболочки и симметрии нагружения следует, что = для всех точек. Тогда, полагая в уравнении Лапласа , получим

или

МПа.

Сопоставляя значения и для цилиндрической части и днищ, приходим к выводу, что опасными являются точки цилиндрической части газгольдера, где

МПа.

Коэффициент запаса по текучести

.

Таким образом, прочность газгольдера обеспечена.

7.2. Для конического резервуара с полусферической крышкой (рис. 7.3) определить коэффициент запаса по текучести, если в резервуаре находится газ под давлением q=24 ат. Материал резервуара – сталь с пределом текучести =280 МПа.

7.3. Цилиндрический котел (рис. 7.4) находится под действием внутреннего равномерно распределенного давления q. Определить при каком соотношении радиусов R и r цилиндрическая часть и днища будут равнопрочны. Использовать энергетическую теорию прочности.

Рис. 7.3 Рис. 7.4

7.4. Тонкостенный цилиндрический котел диаметром 200 см находится под рабочим давлением q=1,6 МПа. Рассчитать необходимую толщину стенок котла при допускаемом напряжении [ ]=100 МПа.

7.5. Стальной сферический сосуд, имеющий диаметр D=60 см, нагружен внутренним давлением q=24 ат. Рассчитать необходимую толщину стенки сосуда, если допускаемое напряжение для материала [ ]=120 МПа.

7.6. Под каким наибольшим давлением можно держать газ в тонкостенном сферическом сосуде диаметром D=2 м и толщиной стенки h=0,5 см при допускаемом напряжении для материала сосуда [ ]=100 МПа?

7.7. В сферическом газгольдере радиуса R=1 м с толщиной стенки h=10 мм максимальное касательное напряжение оказалось равным 20 МПа. Определить величину давления газа в газгольдере.

7.8. Тонкостенная сферическая оболочка радиусом R и толщиной стенки h выдерживает внутреннее давление q. Какое давление выдержит эта оболочка, если все размеры увеличить в 4 раза?

7.9. Тонкостенный резервуар (рис. 7.5) заполнен газом под давлением q=2 МПа. Проверить прочность резервуара, если толщина стенки h=1 мм, а допустимое напряжение [ ]=100 МПа. Диаметр цилиндрической части d=1 м, а длины: м, м.

7.10. Определить требуемую толщину стенки h для конического резервуара (рис. 7.6), заполненного до уровня H жидкостью с удельным весом , если допускаемое напряжение материала [ ]=60 МПа.

Р асчет выполнить по теории максимальных касательных напряжений.

Решение

Требуется провести проектный расчет резервуара из условия прочности, которое имеет вид:

,

где - значение эквивалентного напряжения в опасной точке стенки резервуара.

Для ответа на вопрос задачи выразим в функции неизвестного параметра h. С этой целью определим величины окружных и меридиальных напряжений в различных точках стенки резервуара.

Так как верхняя часть АВ резервуара не испытывает ни газового, ни гидростатического давления, то в точках этой части резервуара .

Для определения меридиональных напряжений в точках верхней части резервуара рассечем его мысленно плоскостью, расположенной на расстоянии z от нижней точки С, и запишем уравнение равновесия отсеченной нижней части в виде суммы проекций на вертикальную ось z (рис. 7.7, а).

При этом получим

,

где

;

;

;

; cos .

Подставляя значения и в уравнение равновесия, получим формулу для расчета в точках верхней части АВ, расположенной выше уровня жидкости:

.

Нижняя часть ВС резервуара испытывает действие гидростатического давления q.

Окружные напряжения в точках этой части резервуара найдем из уравнения Лапласа [I]

.

Учитывая, что (см. рис. 7.7,б), получим .

Отсюда следует, что изменяется на участке ВС по параболическому закону. Исследовав функцию на экстремум, находим, что возникает в точках, отстоящих от вершины конуса на расстоянии H/2.

Рассекая часть ВС сечением, отстоящим на расстоянии z от вершины С и рассматривая равновесие нижней части (см. рис. 7,7, б) получим

.

Отсюда

.

Исследовав функцию на экстремум, находим, что возникает в точках, соответствующих z=3/4H.

Используя выражения для и , строим эпюры h и h (рис. 7.8).

Согласно теории наибольших касательных напряжений [I]

.

Поскольку q значительно меньше и , то можно принять . Тогда равно большему из напряжений или . По эпюрам видно, что опасной является точка К, для которой условие прочности имеет вид

,

откуда находим

см.

Принимаем h=0,5 мм.

7.2. Конический резервуар доверху наполнен водой (рис. 7.9). Толщина стенок h=4 мм. Резервуар подвешен по окружности сечения АВ. Оценить прочность резервуара в верхнем сечении, если , Н=5м, , а МПа. Использовать теорию максимальных касательных напряжений.

7.12 . Какую максимальную высоту напора H можно допустить в винипластовой водопроводной трубе (рис. 7.10), толщина стенки которой h=52 мм, средний диаметр D=52 мм. Допускаемое напряжение для винипласта принять равным 8 МПа.

7.13. Определить толщину стенки чугунной водопроводной трубы диаметром 120 см при высоте напора 100м. Допускаемое напряжение на растяжении чугуна принять равным 20 МПа.

7.14. Сравнить прочность двух заполненных жидкостью цилиндрических резервуаров, отличающихся только условиями закрепления (рис 7.11). Использовать теорию максимальных касательных напряжений.

7.15. Проверить в точках A и B прочность полусферического резервуара, доверху заполненного водой (рис. 7.12). Проверку провести по различным теориям прочности. Какая из теорий даёт больший запас прочности? Принять D = 2 м, [σ]=100 МПа, , h = 5 мм.

Рис. 7.11 Рис. 7.12