- •5. Теория напряженно – деформированного состояния
- •6. Сложное сопротивление
- •6.1.2. Пространственный косой изгиб
- •6.2. Изгиб с растяжением (сжатием)
- •6.3. Изгиб с кручением бруса круглого поперечного сечения
- •7. Расчет на прочность осесимметричных
- •7 .1 Тонкостенные безмоментные оболочки
- •7.2. Толстостенные цилиндры
- •9. Задачи динамики
- •9.1.2. Кручение
- •9.2. Расчеты на прочность и жесткость при ударе
- •9.2.1. Растягивающий (сжимающий) удар
- •9.2.2. Крутящий удар
- •9.3.2. Крутильные колебания
- •10. Расчёт на прочность при переменных напряжениях
- •11. Расчет по предельному состоянию
10. Расчёт на прочность при переменных напряжениях
10.1. Определить величину предела выносливости при симметричном цикле изменения напряжений для изгибаемого ступенчатого вала (рис.10.1), изготовленного из стали 30 с временным сопротивлением и пределом выносливости при симметричном цикле .
Решение
Предел выносливости рассматриваемого вала можно рассчитать по формуле
. (10.1)
Здесь - масштабный коэффициент при действии нормальных напряжений; - эффективный коэффициент концентрации напряжений.
Величину коэффициента определяем по формуле
, (10.2)
где - теоретический коэффициент концентрации напряжений; q – коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений.
По рекомендации [2] для углеродистой стали принимаем q = 0,6. Величина для (r/d) = (5/80) = 0,0625 согласно табл. 10.1 будет равна 1,75. Тогда
.
Значение масштабного коэффициента устанавливаем по
[2] , где для d = 80мм имеем .
Таким образом, искомое значение предела выносливости рассматриваемой детали будет равно
.
Таблица 10.1
Вид деформации и фактора концентрации напряжений
1. Изгиб, растяжение (сжатие)
1.1. Полукруглая выточка на валу: отношение радиуса выточки к диаметру вала
0,1 2,0
0,5 1,6
1,0 1,2
2,0 1,1
I.2. Галтель
Отношение радиуса полной галтели к высоте сечения (диаметру вала)
0,0625 1,75
0,125 1,50
0,25 1,20
0,50 1,10
I.3. Переход под прямым углом 2,0
I.4. Отверстия при отношении диаметра последних к поперечному размеру сечения от 0,10 до 0,33 2,0
2. Кручение.
2.1. Галтель при отношении радиуса последней к диаметру вала
0,02 1,8
0,05 1,6
0,10 1,2
0,20 1,1
2 .2. Шпоночные канавки 1,6-2,0
10.2. Балка прямоугольного сечения, ослабленная выточками (рис.10.2) в плоскости наибольшей жёсткости, подвергается действию изгибающего момента, меняющегося от -0,5 Mmax до +Mmax. Балка изготовлена из легированной стали ( = 950 МПа, = 720 МПа, = 400 МПа). Принимая основной коэффициент запаса прочности n = 1,8 определить допускаемую величину Mmax.
Решение.
Величину допускаемого значения Mmax при циклических нагрузках определяют из следующего условия прочности:
. (10.3)
Здесь Wx – осевой момент сопротивления; - допускаемое напряжение для материала изгибаемой детали с характеристикой цикла изменения напряжений r, определяемое по формуле
. (10.4)
Для рассматриваемой задачи в соответствии с (10.4) получим
.
Для расчёта допускаемого напряжения при симметричном цикле изменения напряжений (r = -1 ) можно использовать формулу (10.1)
Теоретический коэффициент концентрации напряжений устанавливаем согласно рис.10.3 (кривая II ) , на котором представлены изменения коэффициента при циклическом чистом изгибе [2].
2r
Для принимаем . Коэффициент чувствительности материала к концентраторам напряжений согласно рекомендации [2] для легированной стали с концентратором будет равен q = 0,8 .
Рассчитываем эффективный коэффициент концентрации напряжений по формуле (10.2)
.
Значение масштабного коэффициента определяем по [2] , где для d(H)=72мм. В результате получим .
Определяем величину допускаемого предела выносливости для материала изгибаемой балки при симметричном цикле нагружения
Характеристика цикла изменения напряжений r = -(0,5·Mmax/Mmax) = -0,5. Допускаемое напряжение при циклическом нагружении можно определить по формуле
. (10.5)
Для рассматриваемой задачи в соответствии с (10.5) получим
.
Так как осевой момент сопротивления ослабленного сечения балки равен , то искомое значение допускаемого момента согласно выражению (10.3) будет равно
.
10.3. Стальная полоса с центральным отверстием (рис.10.4) подвергается циклическому растяжению-сжатию, при котором Pmax=8кН, Pmin=-5кН. Диаметр отверстия в полосе d=5мм, её ширина b=25мм, а толщина h=5мм. Поверхность полосы имеет шероховатость ~12,5 мкм. Материал полосы - сталь 45 с пределом прочности σв=500МПа и пределом выносливости . Требуется установить запас прочности детали, если [n]=1,5.
Решение
Величину коэффициента запаса усталостной прочности определяем по соотношению
(10.6)
где - соответственно амплитудное и среднее значение напряжения цикла;
- коэффициент, характеризу- ющий чувствительность материала к ассиметрии цикла ; K- коэффи- циент , учитывающий влияние основных факторов на величину предела выносливости.
Для определения напряжений предварительно рассчитываем максимальное и минимальное напряжения цикла:
;
Тогда
Величину
коэффициента
с
I
(10.7) где - эффективный коэффициент концентрации напряжений;
- масштабный коэффициент; - коэффициент качества поверхности детали; - коэффициент упрочняющей обработки поверхности детали.
Эффективный коэффициент концентрации напряжений устанавливаем по соотношению (10.2). Коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений для рассматриваемой стали принимаем согласно [2] q = 0,6. Теоретический коэффициент концентрации напряжений в соответствии с рис.10.5 при будет равным . Окончательно получим
.
Для определения масштабного коэффициента можно использовать данные, представленные в [2] , где для углеродистой стали с концентратором устанавливаем, что при d(b)=25мм, коэффициент .
Величину коэффициента для принятых значений шероховатости полосы и предела прочности согласно [2] принимаем равным 0,9.
В связи с тем, что поверхность полосы не подвергается упрочняющей обработке, примем .
Подставив полученные значения коэффициентов в соотношение (10.7), получим
.
Искомый коэффициент запаса усталостной прочности согласно выражению (10.6) и полученным данным будет равен
что больше заданного в условии задачи допускаемого значения [n].
10.4. Стальной шлифованный вал с галтелью и шпоночным пазом (рис.10.6) работает на кручение по несимметричному циклу, при котором Mmax =800Нм, Mmin= - 200Нм. Механические характеристики материала (углеродистая сталь):
= 600МПа , =190МПа. Определить коэффициент запаса усталостной прочности при [n] = 1,5.
Решение
При оценке коэффи- циента запаса
необходимо учитывать
наличие на валу двух
концентраторов напря-
жжений: галтели и шпоночного паза.
Определим коэффициент запаса усталостной прочности с учётом галтели (d = 40мм; r = 2мм).
Номинальные характеристики цикла:
Тогда амплитудное и среднее напряжения цикла:
;
.
Определяем коэффициенты и .
Из [2] для = 600МПа следует, что = 0.
Величины коэффициентов и определяем соответственно по формуле (10.7) и (10.2), в которых следует индекс заменить на .
Для рассматриваемой стали ( ) согласно [2] принимаем q = 0,6. Теоретический коэффициент концентрации напряжений устанавливаем по табл. 10.1: для коэффициент . В итоге получим
Величину масштабного коэффициента устанавливаем также по [2], где для будем иметь . Коэффициент поверхностной чувствительности для шлифованной поверхности (шероховатость составляет 6,3мкм) и определяем по [2]: . Величину коэффициента упрочнения принимаем равным 1.
Результирующий коэффициент K на основе полученных данных
.
Подставив значение коэффициентов и характеристик цикла нагружения в соотношение (10.6), устанавливаем, что
.
Определим коэффициент запаса с учётом шпоночного паза.
В связи с тем что размеры шпоночного паза невелики по сравнению с расчётным диаметром вала (d = 40мм), принимаем приближенно значение характеристик цикла нагружения такими же, что и при определении коэффициента запаса усталостной прочности с учётом галтели.
Как и ранее принимаем .
Эффективный коэффициент концентрации устанавливаем по табл. 10.2 , где для стали с , получим .
Таблица 10.2
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов с одним и двумя шпоночными пазами
Характер нагружения |
Предел прочности , МПа |
|||||
500 |
600 |
700 |
800 |
900 |
1000 |
|
Изгиб |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
Кручение |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
Остальные коэффициенты в соотношении (10.6) были определены ранее. Тогда искомый итоговый коэффициент
.
Окончательно с учётом всех установленных и заданных величин получаем
.
Таким образом, рассчитанные значения коэффициента n с учётом представленных концентраторов напряжений удовлетворяют условиям усталостной прочности спроектированного вала.
10.5. Определить запас прочности ступенчатого вала, изготовленного из легированной стали (рис.10.7) и работающего на циклический изгиб. Поверхность вала обточена и имеет шероховатость 12,5мкм. Цикл нагружения с имметричный Mmax =0,3 кНм, Mmin = -0,3 кН. Характеристики материала: , ; допускаемое значение коэффициента запаса усталостной прочности [n] = 1,5.
Рис.10.7
Решение
Проводим расчёт номинальных характеристик цикла:
.
В данном случае амплитудное и среднее значение напряжений цикла будут равны соответственно:
.
Так как при симметричном цикле нагружения среднее напряжение цикла равно нулю, то коэффициент можно не определять.
Эффективный коэффициент концентрации напряжений рассчитываем по формуле (10.2). При этом согласно [2] принимаем q =0,6 , а теоретический коэффициент концентрации напряжений устанавливаем по таблице 10.1 (для получим ). Тогда
.
Масштабный коэффициент определяем по [2], где находим, что для d = 40мм коэффициент .
Для заданного качества обработанной поверхности вала по [2] устанавливаем, что при и шероховатости 12,5 мкм коэффициент . В силу отсутствия упрочняющей обработки .
Результирующий коэффициент согласно соотношению (10.7) и полученным значениям коэффициентов и составит
По соотношению (10.6) и полученным данным устанавливаем, что
.
Таким образом, вал с заданными размерами обладает достаточным запасом усталостной прочности.
10.6. Ступенчатый вал (рис. 10.8) зубчатой передачи нагружен переменным напряжением изгиба симметричного цикла от момента . Вал изготовлен из углеродистой стали. Поверхность его упрочнена дробеструйной обработкой и имеет шероховатость 12мкм. Установить запас прочности вала по переменным напряжениям в сечении галтели, если [n]=2,5. Принять .
r2,5
Рис.10.8
Решение
Так как вал работает на изгиб с кручением, то коэффициент запаса усталостной прочности определяем по формуле [2]
(10.8)
где - коэффициенты запаса усталостной прочности при действии соответственно только нормальных и касательных напряжений, определяемых по соотношению (10.6).
Вначале производим расчёт номинальных напряжений цикла:
;
; .
Затем определяем коэффициенты .
Как и в предыдущей задаче коэффициент не определя- ем. Для расчёта эффективного коэффициента концентрации напряжений можно воспользоваться данными таблицы (10.3): для , и принимаем . Масштабный коэффициент устанавливаем по [2], где для получим . Согласно [2] для и шероховатости 12 мкм принимаем
Таблица 10.3
Эффективный коэффициент концентрации напряжений для ступенчатых валов с диаметрами d , D и радиусом галтели r
|
|
Коэффициент при изгибе валов с |
Коэффициент при кручении валов с |
||
|
800 |
|
800 |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1,05 |
0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 |
1,70 1,48 1,28 1,20 1,16 |
1,88 1,57 1,33 1,23 1,20 |
1,24 1,15 1,08 1,06 1,05 |
1,29 1,18 1,10 1,08 1,06 |
1,10 |
0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 |
2,00 1,64 1,37 1,27 1,20 |
2,24 1,70 1,42 1,31 1,24 |
1,40 1,25 1,12 1,09 1,06 |
1,52 1,28 1,16 1,12 1,08 |
1,25 |
0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 |
2,12 1,84 1,47 1,35 1,30 |
2,68 1,97 1,54 1,40 1,32 |
1,64 1,40 1,20 1,15 1,09 |
1,73 1,45 1,27 1,20 1,13 |
Коэффициент упрочнения определяем согласно данным [2]: для обдувки дробью детали с концентратором при d = 30- 40 мм рекомендуется назначать коэффициент в пределах 1,1-1,5 . Принимаем в решаемой задаче приближённо .
Окончательно итоговый коэффициент согласно формуле (10.8) составит
.
В соответствии с формулой (10.6) по рассчитанным и заданным значениям получим
.
При определении коэффициента запаса усталостной прочности вначале выполняем расчёт номинальных напряжений цикла
; ;
.
Значение эффективного коэффициента концентрации напряжений определяем по таблице (10.3): для , и принимаем . Значение коэффициентов будет таким же, что и при расчёте коэффициента . Тогда искомый результирующий коэффициент
.
В еличину коэффициента устанавливаем по [2], где для
Искомый коэффициент запаса усталостной прочности по касательным напряжениям
.
Общий коэффициент запаса усталостной прочности определяем по формуле (10.8):
.
Таким образом, принятые в задаче размеры вала удовлетворяют условиям усталостной прочности при заданной нагрузке.
10.7. Определить величину предела выносливости при симметричном цикле изменения напряжений для деталей, схемы нагружения и размеры которых приведены в табл. 10.4.
Детали изготовлены:
а) из углеродистой стали 20 с характеристиками: , предел выносливости при растяжении-сжатии , предел выносливости при изгибе , предел выносливости при кручении ;
б) из легированной стали 40 ХН с характеристиками , , и .
10.8. Допускаемые напряжения для детали из стали 40 ХН равны: при симметричном цикле = 120 МПа, при постоянной нагрузке = 500 МПа.
Определить величину допускаемого напряжения в следующих случаях:
для цикла с r = -0,5;
для цикла с ; ;
для цикла с ; .
Таблица 10.4
№ схем |
Расчётные схемы |
Размеры , мм |
Вид деформи-рования |
||
D |
d |
r |
|||
1а 1б |
|
120 60 |
100 50 |
8 5 |
Кручение |
2а 2б |
|
100 40 |
10 6 |
|
Растяжение- -сжатие |
3 а 3б |
Сечение прямоугольное |
16 50
|
80 38 |
8 6 |
Изгиб |
10.9. Стержень прямоугольного поперечного сечения с галтелью r =5мм (рис.10.9) из углеродистой стали 35 ( и пределом выносливости ) подвергается действию сжимающей нагрузки, изменяющейся от 0,15 до . Определить наибольшую допускаемую нагрузку , если n = 1,8 , а динамический коэффициент
10.10. Ступенчатый вал с галтелью (рис. 10.10) из легированной стали 40Х нагружен переменным скручивающим моментом, изменяющимся по отнулевому циклу. Определить допускаемый момент, если n = 1,5 , а поверхность вала имеет шероховатость 12 мкм. Принять .
Рис.10.10
10.11. Плоский стержень (рис.10.11) из стали 45 подвергается знакопеременному растяжению-сжатию с характеристикой цикла r = -0,5 , . Поверхность стержня обработана дробью. Определить коэффициент запаса усталостной прочности .
10.12. Ступенчатый вал (рис.10.12), нагруженный моментами M = 640 Нм, вращается с постоянной угловой скоростью. Материал вала - легированная сталь ( , ). Поверхность вала шлифована.
Определить коэффициент запаса усталостной прочности.
10.13. Вал, выполненный из углеродистой стали, скручивается моментами M (рис. 10.13) , меняющимися от нуля до 850 Нм. Определить коэффициент запаса усталостной прочности при , . Поверхность вала шлифована (шероховатость составляет 6 мкм).
Рис.10.13
10.14. Вращающийся вал с проточкой (рис.10.14) находится под действием моментов . Изгибающий момент постоянен, а крутящий момент меняется по отнулевому циклу. Определить коэффициент запаса усталостной прочности. Дано: ; материал – легированная сталь. Поверхность вала обдута дробью. Характеристики материала:
.
r5
Рис.10.14.
10.15. Ступенчатый вал с диаметрами d = 50мм и D = 60мм имеет в месте перехода галтель радиусом 4мм. Вал подвергается переменному изгибу с кручением . Нормальные напряжения при изгибе меняются от до , касательные напряжения при кручении изменяются от до . Материал -сталь 45 ( ).
Определить величину коэффициента запаса усталостной прочности.