11. Расчет по предельному состоянию

11.1. Растяжение (сжатие)

11.1. Определить допускаемые значения сил и для стержня (рис. 11.1, а). Поперечное сечение верхней части стержня - , нижней - . Допускаемое напряжение МПа, см².

Рис. 11.1

1) Вид деформирования – растяжение-сжатие.

2) Вид расчета – по предельным (допускаемым) нагрузкам. Принимаем модель идеального упруго-пластического материала (см. рис. 11.1, б). При этом считаем, что .

Условие прочности записываем в виде

.

Здесь – величина, через которую выражаются силы и .

3) Определяем . Несущая способность стержня будет исчерпана, когда хотя бы одна из точек приложения сил и получит неограниченное перемещение. При этом проверяем условия:

а) выполнение уравнений равновесия;

б) ни в одной точке напряжения не должны превосходить предела текучести .

Запишем уравнение равновесия стержня, учитывая, что система, изображенная на рис. 11.1,а, является статически неопределимой.

, или, учитывая, что , а , получим .

Запишем выражения для продольных сил и напряжений по участкам стержня:

, , ;

, , ;

, , .

Рассмотрим следующие варианты исчерпания несущей способности стержня.

Первый вариант.

Предел текучести достигнут на I и III участках, то есть

, , а значит

; ; .

Подставляем и в уравнение равновесия

; .

Проверяем напряжения на II участке:

; .

, следовательно, этот вариант не реализуется.

Второй вариант.

Предел текучести достигнут на II и III участках.

, .

; .

; .

Подставляем и в уравнение равновесия

; .

Уравнение равновесия не выполнено, следовательно, вариант не реализуется.

Третий вариант.

Предел текучести достигнут на всех трех участках

, , .

; ; ; ; .

Подставляем , и в уравнение равновесия:

; .

Уравнение равновесия не выполнено, следовательно, вариант не реализуется.

Четвертый вариант.

Предел текучести достигнут на I и II участках:

, ,

; ; .

Из уравнения равновесия определяем :

.

Определяем напряжение на III участке:

; .

Следовательно, условия а) и б) выполнены, и этот вариант реализуется.

.

4) Определяем допускаемое значение :

.

5) Определяем допускаемое значение сил и :

кн; кн.

11.2. Определить необходимые площади поперечных сечений стержней конструкции, изображенной на рис. 11.2, а. Стержень 1 – стальной с МПа, стержень 2 – дуралюминовый с МПа, стержень 3 – латунный с МПа. Площади сечений .

Рис. 11.2

Решение

1) Вид деформирования – растяжение-сжатие.

2) Вид расчета – расчет по предельным (допускаемым) нагрузкам. Принимаем модель идеального упруго-пластического материала (см. рис. 11.2, б). При этом считаем . Условие прочности записываем в виде

.

3) Определяем . Несущая способность системы будет исчерпана, когда точка приложения силы получит неограниченные перемещения. При этом проверяем условия а) и б) (см. задачу 11.1).

Запишем уравнения равновесия шарнира (см. рис. 11.2, в):

; .

Стержни 1 и 2 растянуты ( и ). Предположим, что стержень 3 сжат ( ). В тех случаях, когда неясно, сжат или растянут стержень, возможны два пути решения: решаем упругую задачу и определяем, какие стержни сжаты и растянуты, или рассматриваем дополнительные варианты потери несущей способности, где учитывается, что стержень может быть либо сжат, либо растянут. Рассмотрим различные варианты исчерпания несущей способности системы.

Первый вариант.

Предел текучести достигнут в 1 и 2 стержнях ( , ):

; .

Из уравнений равновесия определяем и :

; ,

; .

Определяем напряжение в третьем стержне:

МПа,

.

Напряжение в стержне 3 больше предела текучести его материала, следовательно, вариант нереализуем.

Второй вариант.

Предел текучести достигнут в стержнях 1 и 3 ( , ):

; .

Из уравнений равновесия определяем и :

; ,

; .

Определяем напряжение во втором стержне:

.

Условия а) и б) выполнены, следовательно, второй вариант возможен:

.

Третий вариант.

Предел текучести достигнут в стержнях 1, 2, 3 ( , , ):

; ; .

Подставляем в уравнения равновесия

,

.

Условия а) и б) выполнены, следовательно, и третий вариант возможен.

Окончательное значение определяем как наименьшую из и :

.

Следовательно,

.

4) Определяем допускаемую нагрузку

.

5) Подставим в условие прочности

.

Проведем проектировочный расчет

.

Тогда ; ; .

11.3. Определить допускаемую нагрузку для стержней, изображенных на рис. 11.3. Поперечное сечение верхней части каждого из стержней равно 0, 01 м², нижней – 0,02 м². Допускаемое напряжение для материала МПа.

11.4. Сплошной стальной цилиндр вставлен в полый латунный цилиндр так, что их оси совпадают. Оба цилиндра через абсолютно жесткую плиту сжаты центральной нагрузкой , как указано на рис. 11.4. Определить величину нагрузки ( ), при которой произойдет потеря несущей способности. Пределы текучести МПа, МПа.

Рис. 11.3 Рис. 11.4

11.5. Для изображенных на рис. 11.5 конструкций определить допускаемую нагрузку. Материал стержней – сталь, МПа, см².

Рис. 11.5

11.6. Из расчета по допускаемым нагрузкам подобрать поперечные сечения стержней, представленных на рис. 11.6. Допускаемое напряжение для материала стержней МПа, кН.

Рис. 11.6

11.7. Определить площади поперечных сечений стержней в конструкциях, указанных на рис. 11.7, при МПа.

Рис. 11.7 Рис. 11.8

11.8. Сравнить величины допускаемой силы , приложенной к железобетонной колонне (рис. 11.8), проведя сначала расчет по допускаемым напряжениям, а затем по предельному состоянию. В обоих случаях коэффициент запаса принять . Сечение колонны см. Стальная арматура занимает 2% от общей площади колонны. Дано:

11.2. Кручение

11.9. Определить наибольшее значение момента , скручивающего вал, имеющий два участка с круглыми поперечными сечениями (рис. 11.9, а). Допускаемое касательное напряжение МПа, см, см.

Рис. 11.9

1. Вид деформирования – кручение.

2. Вид расчета – по предельным (допускаемым) нагрузкам. Принимаем модель идеального упруго-пластического материала (см. рис. 11.9, б). При этом считаем . Условие прочности записываем в виде

.

3. Определяем . Несущая способность вала будет исчерпана, когда сечение, в котором приложен , будет свободно поворачиваться. Записываем уравнение равновесия вала:

.

Откуда следует, что .

Составляем выражение для по участкам:

I уч-к: , II уч-к: ,

, .

Если крутящий момент на I участке достигнет предельного значения, несущая способность не будет исчерпана и момент можно увеличивать до достижения крутящим моментом на II участке предельного значения, т.е. когда

, ,

, .

Подставляем значения в уравнение равновесия и определяем

; .

4. Определяем наибольшее значение момента , которое можно приложить к валу

.

11.10. Определить необходимое значение диаметра круглого вала, представленного на рис. 11.10, а, если кНм, кНм. Допускаемое напряжение для материала вала МПа.

Рис. 11.10

Решение

1. Вид деформирования – кручение.

2. Вид расчета – по предельным (допускаемым) нагрузкам. Принимаем модель идеального упруго-пластического материала (см. рис. 11.10, б), считая . Условие прочности записываем в виде

; .

Учитываем, что

.

3. Определяем и .

Несущая способность вала будет исчерпана, когда хотя бы одно из сечений, в которых приложены и , сможет неограниченно поворачиваться. При этом проверяем выполнение условий:

а) удовлетворение уравнения равновесия;

б) ни в одном сечении крутящий момент не должен превосходить предельного значения, т.е. , где .

Записываем уравнение равновесия

.

Записываем аналитические выражения для по участкам

, , ,

, , .

Рассмотрим возможные варианты потери несущей способности вала.

Первый вариант.

На I и II участках крутящие моменты достигают предельного значения ( , ):

; .

Предположим, что , тогда

; , что невозможно, следовательно , тогда

; .

Определяем .

Из уравнения равновесия определяем :

; .

Проверяем условие :

; .

Следовательно, этот вариант не реализуется.

Второй вариант.

На I и III участках крутящий момент достигает предельного значения ( , ):

; .

Из уравнения равновесия определяем и , учитывая, что

; ; .

Проверяем условие

; .

Следовательно, второй вариант реализуем.

Третий вариант.

На II и III участках крутящие моменты достигают предельного значения ( ):

; .

Предположим, что , тогда

; .

Подставляем и в уравнение равновесия:

, откуда .

Это невозможно. Пусть . Тогда

; .

Проверим условие :

.

Следовательно, третий вариант нереализуем.

Четвертый вариант.

На I, II и III участках крутящие моменты достигают предельного значения ( , ).

Если и , то, повторяя решение по первому варианту, приходим к выводу, что и этот вариант нереализуем.

Таким образом, реализуется только второй вариант:

; .

4. Определяем допускаемые значения и :

; .

5. Определяем наименьший необходимый диаметр из условия прочности

(или ).

Проектировочный расчет дает условие:

мм.

Таким образом, наименьший диаметр вала мм.

11.11. Сравнить массы двух сплошных валов одинаковой длины, диаметры которых подобраны с одинаковым коэффициентом запаса прочности , если первый подбирался из расчета по предельному состоянию, а второй – по допускаемым напряжениям. Крутящий момент кНм, предел текучести материала МПа.

11.12. Найти предельную нагрузку для сплошного вала, защемленного двумя концами и нагруженного посередине сосредоточенным скручивающим моментом . Предел текучести материала вала МПа, диаметр вала см. Определить, как изменится предельный момент , если убрать одну из концевых заделок.

11.13. Определить наружный диаметр трубчатого стержня с толщиной стенки, составляющей 0,1 этого диаметра. Стержень подвергается кручению. Величина крутящего момента кНм. Материал стержня имеет предел текучести МПа, коэффициент запаса прочности .

11.14. Определить величину коэффициента запаса прочности вала кольцевого поперечного сечения с наружным диаметром см и внутренним см при его скручивании. Величина крутящего момента равна 10 кНм, предел текучести материала стержня МПа.

11.15. Найти предельный момент для вала круглого сечения, изображенного на рис. 11.11, если предел текучести материала МПа. Определить, как изменится , если убрать левую заделку?

11.16. Вал круглого поперечного сечения с двумя участками разного диаметра жестко защемлен обоими концами и нагружен, как указано на рис. 11.12. Определить диаметры его поперечных сечений, если МПа, кНм.

11.17. Определить безопасное значение для стержня, представленного на рис. 11.13. Диаметр стержня 7 см, допускаемое напряжение для материала МПа.

Рис. 11.11 Рис. 11.12 Рис. 11.13

11.3. Изгиб

11.3.1. Статически определимые балки

11.18. Для балки, изображенной на рис. 11.14, а, определить интенсивность нагрузки , при которой возникают первые пластические деформации, и , при которой исчерпывается несущая способность, если МПа, м. Рассмотреть два случая:

а) поперечное сечение – двутавр (см. рис. 11.14, г)

б) поперечное сечение – тавр (см. рис. 11.14, д).

Решение

1) Вид деформирования – прямой изгиб. Балка статически определимая.

2) Так как в условии задачи требуется учесть пластическое деформирование, принимаем модель идеального упруго-пластического материала (см. рис. 11.14, е).

Рис. 11.14

3) Определяем . Первые пластические деформации, как следует из принятой диаграммы , возникают, когда

, где .

Для определения строим эпюру .

Определяем реакции и :

; ; ; .

Проверка: .

Составляем аналитические выражения для по участкам, определяемым характерные значения и строим эпюру (см. рис. 11.14, б):

,

; ; ;

,

; ; ; ; ; .

Запишем условие появления первых пластических деформаций в виде

, откуда .

Рассмотрим два сечения:

а) для двутавра №20 из таблицы сортамента прокатной стали см³. Тогда

н/мм = 197 кн/м;

б) для тавра вычисляем (см. рис. 11.14, ж). Считая исходной ось , получим, что , см. Тогда см,

см³,

см; см³,

н/мм = 554 кн/м.

4) Определяем . Так как балка статически определимая, она теряет несущая способность, превращаясь в механизм при появлении пластического шарнира в сечении с (см. рис. 11.14, в), т.е. при условии

.

Запишем условие потери несущей способности в виде

, откуда .

Рассмотрим два сечения:

а) для двутавра № 20 из таблицы сортамента прокатной стали см³. Тогда

н/мм = 223 кН/м;

б) для тавра вычисляем (см. рис. 11.14, з).

Нейтральная линия в пластическом шарнире делит поперечное сечение на две части равной площади:

см³.

н/мм = 658 кН/м.

Из формул для и следует, что

,

а) для двутавра ; б) для тавра .

11.19. Из расчета по допускаемым нагрузкам определить размеры прямоугольного поперечного сечения ( ) балки (рис. 11.15, а), если кН·м, МПа.

Решение

1) Вид деформирования – прямой изгиб. Балка статически определимая.

2) Вид расчета – по предельным (допускаемым) нагрузкам. Принимаем модель идеального упруго-пластического материала (см. рис.11.15,д); считая Условие прочности записываем в виде

Рис. 11.15

3) Определяем Так как балка статически определима, она теряет несущую способность, превращаясь в механизм при появлении пластического шарнира в сечении с т.е. при условии, что

Определяем Для этого строим эпюру (см. рис.11.15,б)

Проверка

Записываем уравнения по участкам:

Из эпюры следует

Пластический шарнир возникает в сечении, в котором приложен сосредоточенный момент (см. рис.11.15,в). Записываем условие для определения в виде:

откуда

4) Определяем

5) Так как расчет проектировочный, преобразуем условие прочности

к виду

6) Определяем размеры поперечного сечения. Для прямоугольника

откуда

см.

Принимаем см, см.

11.20. Подобрать из расчета по допускаемым нагрузкам номер прокатной двутавровой балки (рис.11.16) при действии распределенной нагрузки постоянной интенсивности кН/м по всей длине балки м. Предел текучести МПа, коэффициент запаса прочности Пролет балки м, длина консоли м. Какой номер двутавра нужно взять, если подбор сечения вести по допускаемым напряжениям? Какова экономия материала, если расчет вести по допускаемым нагрузкам?

11.21. Определить предельно допускаемый пролет для шарнирно опертой по концам балки таврового сечения (рис.11.17), нагруженного посередине пролета сосредоточенной силой кН. Допускаемое напряжение для материала балки равно 160 МПа.

Рис. 11.16 Рис. 11.17

11.22. Клепаная двутавровая балка лежит на двух опорах и нагружена посередине силой Сечение балки представлено на рис.11.18. Найти коэффициент, выражающий отношение допускаемой нагрузки, вычисленной по предельному состоянию, к допускаемой нагрузке и вычисленной по допускаемым напряжениям, при одинаковом коэффициенте запаса прочности. Ослабление сечения не учитывать.

11.23. Определить необходимые размеры поперечных сечений балок (рис.11.19) из расчета по предельным нагрузкам и допускаемым напряжениям. Насколько потребуется больше материала, если рассчитать их по допускаемым напряжениям?

Рис. 11.19

11.24. Определить допускаемые нагрузки из расчета по предельным нагрузкам и по допускаемым напряжениям для балок (рис.11.20). Насколько процентов увеличится несущая способность, если расчет ведется по предельным нагрузкам?

Рис. 11.20

11.3.2. Статически неопределимые балки

11.25. Для балки, изображенной на рис.11.21,а подобрать сечение в форме двутавра, если кН/м, м, МПа.

Решение

1. Вид деформирования – прямой изгиб. Балка один раз статически неопределимая.

2) Вид расчета – по предельным (допускаемым нагрузкам). Принимаем модель идеального упруго-пластического материала (см. рис.11.21,г), считая Условие прочности записываем в виде

Рис. 11.21

Определяем . Так как балка один раз статически неопределима, она теряет несущую способность, превращаясь в механизм при появлении двух пластических шарниров. Один из них возникает в защемлении, а другой в сечении на пролете, где максимален (см. рис.11.21, б). Эпюра в предельном состоянии имеет вид (см. рис.11.21, в). То есть при потере несущей способности

,

где

Выражаем и через и

Тогда

Условие потери несущей способности запишем в виде уравнения для определения

откуда

Это квадратное уравнение дает два значения для

Из двух корней выбираем тот, который удовлетворяет условию задачи. Для этого определим при потере несущей способности:

что означает, что пластического шарнира в пролете нет, т.к.

Таким образом, реализуется решение

4) Определяем

5) Так как расчет проектировочный, преобразуем условие прочности по допускаемым нагрузкам:

к виду

Определяем номер двутавра:

Выбираем двутавр №10, для которого

11.26. Определить допускаемое значение момента для балки (рис.11.22,а), считая известными

Рис. 11.22

Решение

1) Вид деформирования – прямой изгиб. Балка один раз статически неопределима.

2) Вид расчета – расчет по предельным (допускаемым) нагрузкам. Принимаем модель идеального упруго-пластического материала (см. рис.11.22,в). Считаем, что Допускаемая нагрузка определяется по формуле

3) Определяем . Так как балка один раз статически неопределима, она теряет несущую способность, превращаясь в механизм при появлении двух пластических шарниров. Один из них возникает в защемлении, а другой в сечении, где приложен сосредоточенный момент (см. рис.11.22,б). При этом, изгибающий момент может быть равен либо слева, либо справа от сечения Рассмотрим эти варианты, проверяя условия:

а) выполнение уравнений равновесия,

б) ни в одном сечении изгибающий момент не превосходит

Составляем уравнения равновесия:

Из них следует, что

Составляем выражения для по участкам:

Первый вариант.

Изгибающий момент слева от точки достигает предельного значения. Т.е. условие потери несущей способности:

Пусть тогда определяем из уравнения

не соответствует заданному направлению момента.

Пусть . Тогда для определения имеем .

Проверяем условие

Если вариант реализуем.

Второй вариант.

Изгибающий момент справа от точки достигает предельного значения. То есть условие потери несущей способности таково:

Получим уравнение для определения в виде откуда

Проверяем условие

.

Если вариант реализуем, при этом что не соответствует заданному направлению момента. Этот же вариант возможен при если или

Окончательно получим:

4) Определяем

при

при

11.27. Определить допускаемое значение силы для балки (рис.11.23,а) если заданы

Рис. 11.23

Решение

1. Вид деформирования – прямой изгиб. Балка два раза статически неопределима.

2. Вид расчета – расчет по предельным (допускаемым) нагрузкам. Принимаем модель идеально упруго-пластического материала (рис.11.23,в). Считаем, что Допускаемая нагрузка определяется по формуле

3. Определяем Так как балка два раза статически неопределима, она теряет несущую способность, превращаясь в механизм, при появлении трех пластических шарниров. Два шарнира возникают в опорах, а третий шарнир – в сечении, где приложена сила (рис.11.23,б). Составляем уравнения равновесия

Составляем аналитические выражения для по участкам:

Запишем условие потери несущей способности

откуда

4. Определяем

11.28. Для балки, представленной на рис.11.24,а подобрать сечение в форме двутавра, если кН/м, м, м, м, кН, м, м, кНм, МПа.

Решение

1. Вид деформирования – прямой изгиб. Балка многопролетная.

Рис. 11.24

2. Вид расчета – по допускаемым нагрузкам. Принимаем модель идеального упруго-пластического материала (см. рис.11.24, в). Считаем Условие прочности записываем в виде

3. Определяем Балка имеет три пролета. Считается, что она теряет несущую способность, кода теряет несущую способность любой из ее пролетов. При этом каждый пролет рассматривается как простая балка с закреплениями: смежные сечения двух пролетов считают жесткозащемленными, а у крайних балок несмежные сечения совпадают с заданными. Следовательно, средний пролет теряет несущую способность, как балка в задаче 11.27, левый пролет – как балка в задаче 11.25, правый пролет – как балка в задаче 11.26 (см. рис.11.24,б). Пользуясь решениями этих задач, имеем

;

(так как ).

4. Определяем , ,

; ; .

5. Так как расчет проектировочный, преобразуем условие прочности к виду

;

;

.

Принимаем ; ; . Из таблицы сортамента прокатной стали выбираем двутавр №14, для которого .

11.29. Для балки, показанной на рис. 11.25,а, определить необходимые размеры таврового сечения (см. рис. 11.25, б), если МПа, кН/м.

Рис. 11.25

11.30. Схема конструкции представлена на рис. 11.26. Балка выполнена из двутавра №20, площадь поперечного сечения вертикального стержня равна 9 см². Предел текучести материала балки МПа, предел текучести материала стержня 240 МПа. Определить предельное значение силы .

Рис. 11.26

11.31. Для балок, изображенных на рис. 11.27, определить допускаемую нагрузку. Допускаемое напряжение МПа. Размеры и формы поперечных сечений показаны на рис. 11.27 справа от соответствующих балок.

Рис. 11.27 (начало)

Рис. 11.27 (окончание)

11.32. Для балок, изображенных на рис. 11.28, определить размеры поперечных сечений. Допускаемое напряжение, нагрузка и формы поперечных сечений указаны на рис. 11.28 справа от соответствующих балок.

11.33. Определить коэффициенты запаса прочности для балок, изображенных на рис. 11.29.

Рис. 11.28

Рис. 11.29

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное учебное пособие содержит систематически подобранные примеры и типовые задачи для самостоятельного решения по специальным разделам курса. Наглядная реализация алгоритмов решения представленных в пособии отдельных задач, связанных с оценкой прочности и жесткости элементов конструкций, позволяет применить использованные методы к решению задач любой сложности.

Пособие имеет целью оказать помощь студентам в изучении и освоении одной из наиболее сложных дисциплин общеинженерного цикла, приучить их работать с книгой, развить и закрепить навыки самостоятельного изучения материала. По мнению авторов, решающую роль в овладении методами расчетов элементов конструкций играют надлежащим образом подобранные примеры. В связи с этим в каждом разделе пособия приводятся подробно и тщательно разработанные примеры, доведенные до числового результата, с обстоятельными пояснениями и методическими указаниями к различным частным случаям.

В отборе примеров и методике изложения их решений отразилось стремление авторов придать книге характер не только задачника, но в известной мере и учебного пособия для самостоятельного решения задач. Предполагается, что студенты, прежде чем приступать к самостоятельному решению задач, должны ознакомиться с решениями примеров по рассматриваемому разделу, что позволит им освоить методику решения задач данного типа и получить навык, достаточный для самостоятельной работы.

Книга может служить пособием для самостоятельной работы студентов над курсом сопротивления материалов как в течении семестра, так и при подготовке к зачетам и экзаменам.

Авторы будут признательны за любые критические замечания, которые помогут улучшить качество настоящего издания.

Приложение 1

Геометрические характеристики стандартных сечений

Равнобокие уголки, ГОСТ 8509-72

Номер профи- ля	Размеры, мм		Площадь, см2	, см4	Ix=Imax, см4	Iy=Imin , см4	yc , см
	b	d
1	2	3	4	5	6	7	8
2	20	3	1,13	0,40	0,63	0,17	0,60
		4	1,46	0,50	0,78	0,22	0,64
2,5	25	3	1,43	0,81	1,29	0,34	0,73
		4	1,86	1,03	1,62	0,44	0,76
2,8	28	3	1,62	1,16	1,84	0,48	0,80
3,2	32	3	1,86	1,77	2,80	0,74	0,89
		4	2,43	2,26	3,58	0,94	0,94
3,6	36	3	2,10	2,56	4,06	1,06	0,99
		4	2,75	3,29	5,21	1,36	1,04
4	40	3	2,35	3,55	5,63	1,47	1,09
		4	3,08	4,58	7,26	1,90	1,13
		5	3,79	5,53	8,75	2,30	1,17
4,5	45	3	2,65	5,13	8,13	2,12	1,21
		4	3,48	6,63	10,50	2,74	1,26
		5	4,20	8,03	12,70	3,33	1,30

Продолжение приложения 1

1	2	3	4	5	6	7	8
5	50	3	2,96	7,11	11,30	2,95	1,33
		4	3,89	9,21	14,60	3,80	1,38
		5	4,80	11,20	17,80	4,63	1,42
5,6	56	4	4,38	13,10	20,80	5,41	1,52
		5	5,41	16,00	25,40	6,59	1,57
6,3	63	4	4,96	18,90	29,90	7,81	1,69
		5	6,13	23,10	36,60	9,52	1,74
		6	7,28	27,10	42,90	11,20	1,78
7	70	4,5	6,20	29,0	46,0	12,0	1,88
		5	6,86	31,9	50,7	13,2	1,90
		6	8,15	37,6	59,6	15,5	1,94
		7	9,42	43,0	68,2	17,8	1,99
		8	10,70	48,2	76,4	20,0	2,02
7,5	75	5	7,39	39,5	62,6	16,4	2,02
		6	8,78	46,6	73,9	19,3	2,06
		7	10,10	53,3	84,6	22,1	2,10
		8	11,50	59,8	94,6	24,8	2,15
		9	12,80	66,1	105,0	27,5	2,18
8	80	5,5	8,63	52,7	83,6	21,8	2,17
		6	9,38	57,0	90,4	23,5	2,19
		7	10,80	65,3	104,0	27,0	2,23
		8	12,30	73,4	116,0	30,3	2,27
9	90	6	10,60	82,1	130,0	34,0	2,43
		7	12,30	94,3	150,0	38,9	2,47
		8	13,90	106,0	168,0	43,8	2,51
		9	15,60	118,0	186,0	48,6	2,55
10	100	6,5	12,80	122,0	193,0	50,7	2,68
		7	13,80	131,0	207,0	54,2	2,71
		8	15,60	147,0	233,0	60,9	2,75
		10	19,20	179,0	284,0	74,1	2,83
		12	22,80	209,0	331,0	86,9	2,91
		14	26,30	237,0	375,0	99,3	2,99
		16	29,70	264,0	416,0	112,0	3,06

Продолжение приложения 1

1	2	3	4	5	6	7	8
11	110	7	15,20	176,0	279,0	72,7	2,96
		8	17,20	198,0	315,0	81,8	3,00
12,5	125	8	19,7	294	467	122	3,36
		9	22,0	327	520	135	3,40
		10	24,3	360	571	149	3,45
		12	28,9	422	670	174	3,53
		14	33,4	482	764	200	3,61
		16	37,8	539	853	224	3,68
14	140	9	24,7	466	739	192	3,78
		10	27,3	512	814	211	3,82
		12	32,5	602	957	248	3,90
16	160	10	31,4	774	1229	319	4,30
		11	34,4	844	1341	348	4,35
		12	37,4	913	1450	376	4,39
		14	43,3	1046	1662	431	4,47
		16	49,1	1175	1866	485	4,55
		18	54,8	1299	2061	537	4,63
		20	60,4	1419	2248	589	4,70
18	180	11	38,8	1216	1933	500	4,85
		12	42,2	1317	2093	540	4,89
20	200	12	47,1	1823	2896	749	5,37
		13	50,9	1961	3116	805	5,42
		14	54,6	2097	3333	861	5,46
		16	62,0	2363	3755	970	5,54
		20	76,5	2871	4560	1182	5,70
		25	94,3	3466	5494	1438	5,89
		30	111,5	4020	6351	1686	6,07
22	220	14	60,4	2814	4470	1159	5,93
		16	68,6	3175	5045	1306	6,02
25	250	16	78,4	4717	7492	1942	6,75
		18	87,7	5247	8337	2158	6,83
		20	97,0	5765	9160	2370	6,91
		22	106,1	6270	9961	2579	7,00
		25	119,7	7006	11125	2887	7,11
		28	133,1	7717	12244	3190	7,23
		30	142,0	8177	12965	3389	7,31

Продолжение приложения 1

Д вутавры, ГОСТ 8239-72

Номер профи- ля	Размеры, мм			Пло-щадь, см2	Ix, см4	Wx, см3	, см3	Iy, см4	Wy, см3
	h	b	d
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	100	55	4,5	12,0	198	39,7	23,0	17,9	6,49
12	120	64	4,8	14,7	350	58,4	33,7	27,9	8,72
14	140	73	4,9	17,4	572	81,7	46,8	41,9	11,50
16	160	81	5,0	20,2	873	109,0	62,3	58,6	14,50
18	180	90	5,1	23,4	1290	143,0	81,4	82,6	18,40
18a	180	100	5,1	25,4	1430	159,0	89,8	114,0	22,80
20	200	100	5,2	26,8	1840	184,0	104,0	115,0	23,10
20a	200	110	5,2	28,9	2030	203,0	114,0	155,0	28,20
22	220	110	5,4	30,6	2550	232,0	131,0	157,0	28,60
22a	220	120	5,4	32,8	2790	254,0	143,0	206,0	34,30
24	240	115	5,6	34,8	3460	289,0	163,0	198,0	34,50
24a	240	125	5,6	37,5	3800	317,0	178,0	260,0	41,60
27	270	125	6,0	40,2	5010	371,0	210,0	260,0	41,50
27a	270	135	6,0	43,2	5500	407,0	229,0	337,0	50,00
30	300	135	6,5	46,5	7080	472,0	268,0	337,0	49,90
30a	300	145	6,5	49,9	7780	518,0	292,0	436,0	60,10
33	330	140	7,0	53,8	9840	597,0	339,0	419,0	59,90
36	360	145	7,5	61,9	13380	743,0	423,0	516,0	71,10
40	400	155	8,3	72,6	19062	953,0	545,0	667,0	86,10

Продолжение приложения 1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
45	450	160	9,0	84,7	27696	1231,0	708,0	808,0	101,00
50	500	170	10,0	100,0	39727	1589,0	919,0	1043,0	123,00
55	550	180	11,0	118,0	55962	2035,0	1181,0	1356,0	151,00
60	600	190	12,0	138,0	76606	2560,0	1491,0	1725,0	182,00

Швеллеры, ГОСТ 8240-72

Номер профи- ля	Размеры, мм			Пло-щадь, см2	Ix, см4	Wx, см3	, см3	Iy, см4	Wy, см3	xc, см
	h	b	d
5	50	32	4,4	6,16	22,8	9,1	5,59	5,61	2,75	1,16
6,5	65	36	4,4	7,51	48,6	15,0	9,00	8,70	3,68	1,24
8	80	40	4,5	8,98	89,4	22,4	13,30	12,80	4,75	1,31
10	100	46	4,5	10,90	174,0	34,8	20,40	20,40	6,46	1,44
12	120	52	4,8	13,30	304,0	50,6	29,60	31,20	8,52	1,54
14	140	58	4,9	15,60	491,0	70,2	40,80	45,40	11,00	1,67
14а	140	62	4,9	17,00	545,0	77,8	45,10	57,50	13,30	1,87
16	160	64	5,0	18,10	747,0	93,4	54,10	63,30	13,80	1,80
16а	160	68	5,0	19,50	823,0	103,0	59,40	78,80	16,40	2,00
18	180	70	5,1	20,70	1090,0	121,0	69,80	86,00	17,00	1,94

Окончание приложения 1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
18а	180	74	5,1	22,20	1190,0	132,0	76,10	105,00	20,00	2,13
20	200	76	5,2	23,40	1520,0	152,0	87,80	113,00	20,50	2,07
20а	200	80	5,2	25,20	1670,0	167,0	95,90	139,00	24,20	2,28
22	220	82	5,4	26,70	2110,0	192,0	110,00	151,00	25,10	2,21
22а	220	87	5,4	28,80	2330,0	212,0	121,00	187,00	30,00	2,46
24	240	90	5,6	30,60	2900,0	242,0	139,00	208,00	31,60	2,42
24а	240	95	5,6	32,90	3180,0	265,0	151,00	254,00	37,20	2,67
27	270	95	6,0	35,20	4160,0	308,0	178,00	262,00	37,30	2,47
30	300	100	6,5	40,50	5810,0	387,0	224,00	327,00	43,60	2,52
33	330	105	7,0	46,50	7980,0	484,0	281,00	410,00	51,80	2,59
36	360	110	7,5	53,40	10820,0	601,0	350,00	513,00	67,70	2,68
40	400	115	8,0	61,50	15220,0	761,0	444,00	642,00	73,40	2,75

		М оменты сопротивления, см3	5
		Моменты инерции, см4	4
		Координаты крайних точек сечения, см	3
		Площадь, см2	2
		Форма поперечного сечения	1	прямоугольник			прямоугольный треугольник Оси x, y - центральные
5
4
3
2
1	трапеция оси x, y - центральные				кольцо
5
4
3
2
1	Тонкостенное кольцо					полукруг оси x, y - центральные

Приложение 3

Значения коэффициента приведения длины для стоек, нагруженных продольными силами

Коэффициент	Схема и номер стойки
	2	2	1	1
Коэффициент
	0,699	0,699	0,5

Продолжение приложения 3

Значения коэффициента для стоек с промежуточной опорой и одним шарнирно опертым концом

№ стойки		0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
1	μ	2,000	1,87	1,73	1,60	1,47	1,35	1,23	1,13	1,06	1,01	1,00
2	μ	1,000	0,933	0,868	0,804	0,746	0,699	0,672	0,668	0,679	0,693	0,699
3	μ	0,699	0,652	0,604	0,558	0,518	0,500	0,518	0,558	0,604	0,652	0,699
4	μ	0,500	0,467	0,436	0,412	0,410	0,439	0,487	0,539	0,593	0,646	0,699

Окончание приложения 3

Значение коэффициента для стоек с промежуточной опорой и одним защемленным концом

№ стойки		0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
1	μ	2,00	1,85	1,70	1,55	1,40	1,26	1,11	0,975	0,852	0,757	0,699
2	μ	1,00	0,925	0,850	0,776	0,704	0,636	0,575	0,530	0,507	0,501	0,500
3	μ	0,699	0,646	0,593	0,539	0,487	0,439	0,410	0,412	0,436	0,467	0,500
4	μ	0,500	0,463	0,426	0,391	0,362	0,350	0,362	0,391	0,426	0,463	0,500

Приложение 4

Зависимость коэффициента снижения допускаемого напряжения от гибкости

	Ст. 2 Ст. 3 Ст. 4	Ст. 5	Чугун	Дерево		Ст. 2 Ст. 3 Ст. 4	Ст. 5	Чугун	Дерево
0	1,00	1,00	1,00	1,00	110	0,52	0,43	--	0,25
10	0,99	0,98	0,97	0,99	120	0,45	0,36	--	0,22
20	0,96	0,95	0,91	0,97	130	0,40	0,33	--	0,18
30	0,94	0,92	0,81	0,93	140	0,36	0,29	--	0,16
40	0,92	0,89	0,69	0,87	150	0,32	0,26	--	0,14
50	0,89	0,86	0,57	0,80	160	0,29	0,24	--	0,12
60	0,86	0,82	0,44	0,71	170	0,26	0,21	--	0,11
70	0,81	0,76	0,34	0,60	180	0,23	0,19	--	0,10
80	0,75	0,70	0,26	0,48	190	0,21	0,17	--	0,09
90	0,69	0,62	0,10	0,38	200	0,19	0,16	--	0,08
100	0,60	0,51	0,16	0,31	--	--	--	--	--

Библиографический список

1. Воропаев А.А. Методические указания к решению задач по курсу «Сопротивление материалов» (раздел «Простое деформирование») / А.А. Воропаев, С.С. Одинг, Ф.Х. Томилов, Д.В. Хван: Воронеж, Воронеж. гос. техн. ун-т., 2005. 48 с.

2. Воропаев А.А. Задания на расчетно-проектировочные работы по курсу «Сопротивление материалов» и руководство к их выполнению / А.А. Воропаев, С.С. Одинг, Ф.Х. Томилов, Д.В. Хван: Воронеж, Воронеж. гос. техн. ун-т., 2004. 96 с.

3. Любошиц М.И. Справочник по сопротивлению материалов / М.И. Любошиц, Г.М. Ицкович. Минск: Вышейшая школа, 1969. 464 с.

4. Феoдосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Изд-во МГТУ, 1999. 591 с.

5. Воропаев А.А. Методические указания к решению задач по курсу «Сопротивление материалов» (раздел «Сложное деформирование») / А.А. Воропаев, С.С. Одинг, Ф.Х. Томилов, Д.В. Хван: Воронеж, Воронеж. гос. техн. ун-т., 2006. 51 с.

6. Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред. А.С. Вольмира/. М.: Наука, 1984. 408 с.

7. Воропаев А.А. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов / А.А. Воропаев, С.А.Вульман, С.П. Попов, С.И. Свиридов, Ф.Х. Томилов, Д.В. Хван. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т., 2000. 119 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…................................................................................….3

5. Теория напряженно-деформированного состояния………....5

5.1. Определение напряжений и расчет на прочность

при сложном напряженном состоянии.

Обобщенный закон Гука…………………………………5

5.2. Определение деформаций.. и перемещений………..…13

6. Сложное сопротивление………….......……………………...23

6.1. Косой изгиб………………………...…………………....23

6.1.1. Плоский косой изгиб……………………………..23

6.1.2. Пространственный косой изгиб…………………32

6.2. Изгиб с растяжением (сжатием)………………………..33

6.3. Изгиб с кручением бруса круглого поперечного

сечения…………………………………………………...42

7. Расчет на прочность осесимметричных оболочек………….53

7.1. Тонкостенные безмоментные оболочки……………….53

7.2. Толстостенные цилиндры………………………………63

8. Устойчивость сжатых стержней…………………………….73

9. Задачи динамики……………………………………………..90

9.1. Учет сил инерции……………………………………….90

9.1.1. Растяжение (сжатие)……………………………...90

9.1.2. Кручение…………………………………………..97

9.1.3. Изгиб………………………………………………99

9.2. Расчеты на прочность и жесткость при ударе………..105

9.2.1. Растягивающий (сжимающий) удар…………...105

9.2.2. Крутящий удар…………………………………..111

9.2.3. Изгибающий удар……………………………….116

9.3. Вынужденные колебания упругих систем с одной

степенью свободы……………………………….……..121

9.3.1. Продольные колебания…………………………121

9.3.2. Крутильные колебания………………………….125

9.3.3. Поперечные колебания………………………….128

10. Расчет на прочность при переменных напряжениях……133

11. Расчет по предельному состоянию……………………….154

11.1. Растяжение (сжатие)………………………………..154

11.2. Кручение…………………………………………….163

11.3. Изгиб………………………………………………...169

11.3.1. Статически определимые балки…………...169

11.3.2. Статически неопределимые балки………...177

Заключение……………………………………………………..191

Приложение 1…………………………………………………..192

Приложение 2……………………….………………………….198

Приложение 3…………………………………………………..201

Приложение 4……………………….………………………….204

Библиографический список…………………………………...205