6. Сложное сопротивление

6.1. Косой изгиб

6.1.1. Плоский косой изгиб

6.1. Подобрать размеры поперечного сечения чугунной балки (рис. 6.1), если [σ]_р=35 МПа, [σ]_с=130 МПа, ℓ=2 м, Р=20 кН, Е=1,2·10⁵ МПа, D=8a, d=2a, α=30⁰. Определить величину и направление максимального полного прогиба.

Решение

1. Для заданного сечения оси x, y – главные центральные оси, поскольку они являются осями симметрии. Так как силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей сечения, то балка будет работать в условиях плоского косого изгиба. Размеры поперечного сечения балки определяем из условий прочности, которых в нашем случае будет два, в связи с тем, что материал балки (чугун), неодинаково сопротивляется растяжению - сжатию

σ_р ≤ [σ]_р; |σ|_с ≤ [σ]_с.

Здесь σ_р, |σ|_с – соответственно растягивающие и сжимающие напряжения в точках поперечного сечения балки.

2. Разложив нагрузку Р на составляющие Р_x и P_y по главным центральным осям x, y (см. рис. 6.1), приводим косой изгиб к сочетанию двух прямых изгибов. Изображаем расчетную схему балки, нагруженной силой Р_у (вертикальная плоскость YOZ) и силой Р_х (горизонтальная плоскость XOZ) (рис. 6.2).

О пределяем реакции опор, ме-

тодом сечений находим изги-

бающие моменты и строим эпюры М_х и М_у. Опасным будет сечение, расположенное посередине пролета. Изгибаю-

щие моменты в опасном сечении

В произвольной точке опасного сечения бруса с координатами x, y нормальные напряжения определяются по формуле [1]

В этой формуле изгибающие моменты М_х и М_у берут со знаком плюс, если в точках первой четверти им соответствуют растягивающие напряжения и со знаком минус, если – сжимающие. Координаты x, y точки, в которой, рассчитываются напряжения, берут со своими знаками.

3. Для нахождения опасных с точки зрения прочности точек опасного сечения определим вначале положение нейтральной линии. Угловой коэффициент нейтральной линии [1]

Главные центральные моменты инерции J_х и J_у сечения определяем по методике, изложенной в [2], разбив предварительно сечение на 3 простые фигуры (см. рис. 6.1)

Подставляя значения tg α, J_х и J_у в выражение для , найдем

Угол φ надо отложить от оси х так, чтобы нейтральная (нулевая) и силовая линии проходили через разные квадранты сечения. Положительный угол φ откладываем от оси х против хода часовой стрелки и через центр тяжести сечения проводим нейтральную линию (рис. 6.3).

4. Опасными будут точки, наиболее удаленные от нейтральной линии. Эти точки (А, В) получим, проводя касательные к сечению параллельно нейтральной линии (см. рис. 6.3). В точке А возникают наибольшие растягивающие напряжения, а в точке В – наибольшие сжимающие напряжения. Нейтральная линия делит сечение на две зоны – растяжения (ниже нейтральной линии) и сжатия (выше нейтральной линии). На рис. 6.3 показаны знаки напряжений, соответствующие моментам М_х и М_у (в кружках) для различных четвертей сечения. Здесь же показана и эпюра результирующих нормальных напряжений, ось которой перпендикулярна нейтральной линии.

Так как сечение имеет две оси симметрии, то , а опасной точкой будет точка А, так как [σ]_р < [σ]_с. Условие прочности имеет вид

Координаты точки А найдем, используя перпендикулярность отрезка АВ нейтральной линии

Подставляя найденные значения в условие прочности, получим

Принимаем а=20мм,тогда d=2a=40мм, D=8a=160мм.

5. Максимальный полный прогиб будет посередине пролета (под силой Р). Вначале, используя метод Мора или способ Верещагина, определяем составляющие полного прогиба от каждой из составляющих силы Р в отдельности. В вертикальной плоскости YOZ (от силы P_y)

В горизонтальной плоскости XOZ (от силы Р_х)

Полный прогиб посередине пролета

Угол между направлением полного прогиба и осью y

Таким образом, направление полного прогиба не совпадает с направлением действующей силы , перпендикулярно нейтральной линии и несколько отклоняется в сторону плоскости меньшей жесткости (см. рис. 6.3).

6.2. Для заданной балки двутаврового сечения (двутавр №20) подобрать допускаемое значение интенсивности распределенной нагрузки q (рис. 6.4), если [σ]=160 МПа, ℓ=2 м, α=10⁰. Как изменится величина q, если распределенная нагрузка будет действовать в вертикальной плоскости.

Решение

Заданная балка работает в условиях плоского косого изгиба, так как силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей сечения.

Величину интенсивности распределенной нагрузки определяем из условия прочности. Так как поперечное сечение балки имеет две оси симметрии и выступающие углы, то наиболее опасными с точки зрения прочности будут точки А и В (см. рис. 6.4), максимально удаленные от обеих осей симметрии. Так как материал балки сопротивляется растяжению и сжатию одинаково, то эти точки равноопасны. Условие прочности (для точки А) будет иметь вид [I]

Раскладывая интенсивность распределенной нагрузки на составляющие по главным центральным осям сечения (см. рис. 6.4), приводим косой изгиб к сочетанию двух прямых изгибов.

Изгибающие моменты в опасном сечении (в защемлении)

Для двутавра №20 имеем (см. приложение 1)

Подставляя значения и в условие прочности, получим

откуда находим величину интенсивности распределенной нагрузки

Принимаем q = 6 кН/м.

В случае нагружения балки вертикально действующей распределенной нагрузкой (α=0)

Принимаем q = 14 кН/м. Таким образом, допускаемое значение интенсивности распределенной нагрузки при косом изгибе в 2,3 раза меньше, чем при прямом изгибе в плоскости наибольшей жесткости.

6.3. Определить наибольшие нормальные напряжения для двухопорной балки (рис. 6.5), если h=12 см, b=6 см, m=6 кНм, ℓ=2 м в случаях:

а) силовая линия совпадает с осью у;

б) силовая линия составляет с осью у угол α=1⁰.

6.4. При установке на опоры двутавра № 70, предназначенного для работы на изгиб в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью стенки, была допущена ошибка и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол α=2⁰. Определить максимальный полный прогиб.

6.5. Консольная балка прямоугольного сечения нагружена силой Р=40 кН (рис. 6.6). Подобрать размеры поперечного сечения, если α=30⁰, [σ]=160 МПа, ℓ=2 м. Определить максимальный полный прогиб.

6.6. Двутавровая балка, шарнирно опертая по концам, нагружена силой Р=10 кН посередине пролета ℓ=5 м. Плоскость стенки двутавра составляет угол α=20⁰ с плоскостью действия вертикальной нагрузки. Подобрать сечение балки при допускаемом напряжении [σ]=160 МПа и определить полный прогиб посередине пролета.

6.7. Проверить прочность консольной балки (рис. 6.7), имеющей поперечное сечение в форме равнобокого уголка50х50х5, если [σ]=160 МПа, q = 5 кН/м, ℓ=2 м.

6.8. Шарнирно опертая по концам балка прямоугольного сечения нагружена посередине пролета длиной ℓ=2 м сосредоточенной силой Р=10 кН, составляющей угол α=30⁰ с вертикалью. Проверить прочность балки, если высота ее сечения h=20 см, b=10 см, [σ]_р=50 МПа, [σ]_с=120 МПа. Определить полный прогиб посередине пролета.

6.9. Определить допускаемое значение интенсивности распределенной нагрузки для заданной двухопорной балки (рис. 6.8), если α=60⁰, [σ]=160 МПа, ℓ=2 м. Поперечное сечение балки – двутавр № 14.

6.10. Дощатые обрешетины кровли шарнирно опи-раются на стропила (рис. 6.9) и подвергаются действию вертикально направленной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q. Определить допускаемую величину этой нагрузки, если h=3 см, b=15 см, [σ]=1 кН/см², ℓ=1 м, α=45⁰.

6.11. Деформации в точках А, В стального бруса квадратного поперечного сечения (рис. 6.10) в направлении баз датчиков, определенные методом электротензометрирования, равны соответственно Найти величину силы Р и ее направление (угол α), если ℓ=1 м, Е=2·10⁵ МПа, a=6 см.

6.12. При каком значении угла α напряжение в опасной точке двутавровой балки будет наибольшим (рис. 6.11). Определить это напряжение, если Р=10 кН, ℓ=1,5 м.