5.1.1. Какие электроны участвуют во взаимодействии?

Прежде всего рассмотрим при каком взаимодействии электрон с волновым вектором k₁ и импульсом р₁ может перейти в состояние k^₁ или р^₁, которое в соответствии с принципом Паули, должно быть свободно. Это возможно только вблизи поверхности Ферми в слое толщиной 2k или 2р.

Рис. 5.2. Взаимодействуют только электроны из слоя 2k

Закон взаимодействия электронов через фононы, который лежит в основе микроскопической теории, устанавливает, что электроны, энергии которых отличаются от энергии электрона на поверхности Ферми не больше, чем на величину , притягиваются друг к другу. Энергия взаимодействия таких двух электронов равна – V. Все остальные электроны с иными по величине энергиями не претерпевают изменений. Запишем матричный элемент взаимодействия электронов

. (5.2)

Таким образом, в этой теории устанавливается, что притягиваются только электроны, лежащие в узком сферическом слое около поверхности Ферми толщиной 2k (рис. 5.2.).

,

.

5.2. Основное состояние сверхпроводника

Нам необходимо определить состояние, соответствующее минимальной энергии сверхпроводника.

Вспомним некоторые положения квантовой механики.

Обозначим  (r₁ r₂…r_n) – полную систему функций. Если N пробегает какой-то набор значений, которыми мы нумеруем эти функции, тогда любую волновую функцию  (r₁ r₂…r_n) можно разложить по системе .

 = , (5.3.)

где а_n – амплитуда состояния _n, а_n ² – вероятность обнаружить систему в состоянии _n.

Пусть оператор Гамильтона равен

= + V, (5.4.)

где – оператор кинетической энергии, V – оператор энергии взаимодействия.

Среднее значение энергии Е в состоянии  можно записать

Е = . (5.5.)

Интегрирование ведется по всем N переменным. Подставляя в (5.5.) выражения (5.3.) и (5.4.) имеем

(5.6.)

где , (5.7.)

а V_nm - матричный элемент перехода из состояния _m в состояние _n.

V_nm = , (5.8.)

Вспомним также, что для нормального металла основное состояние (Т = 0) характеризуется тем, что все электроны в пространстве импульсов занимают состояния внутри поверхности Ферми, а состояния вне ее свободны. Потенциальная энергия отсутствует, а этому состоянию соответствует только минимальная кинетическая энергия.

Посмотрим случай сверхпроводника. Включим теперь энергию взаимодействия, о которой говорили выше. Эта энергия вызывает притяжение между электронами, поэтому она будет давать отрицательный вклад и тем самым понижать общую энергию системы. Для этого должна быть обеспечена возможность рассеяния электронов из состояния (k₁ k₂) в состояние ( k^₁ k₂), т.е. состояние (k₁ k₂) вначале заполнено, а ( k^₁ k₂) пустое.

Минимальной энергии при Т= 0 в случае сверхпроводника перестает соответствовать полностью заполненная сфера Ферми. Здесь природа идет на некоторый проигрыш в кинетической энергии с целью отыграться на потенциальной энергии. В этой ситуации поверхность Ферми как бы размазывается, т.е. имеются электроны над поверхностью и свободные состояния над ней. Как происходит заполнение ? Ранее мы говорили о парах электронов, но какие электроны образуют пару ?

При переходе пары электронов (k₁ k₂)  ( k^₁ k₂) должен выполняться закон сохранения импульса

k₁ + k₂ = k^₁ +k₂

и суммирование (см. формулу 5.7.) распространяется на все такие переходы. Чем больше окажется таких разрешенных переходов, тем больше должен быть отрицательный вклад V.

Представим всю совокупность состояний в слое 2 . Занумеруем их индексом n. Они образуют полную систему функций основного состояния сверхпроводника . Это означает, что рассеяние друг на друге пар электронов из состояния (k,-k) в состояние (k,-k) означает переход _n, в котором ячейки (k,-k) заняты, а (k,-k) свободны в другое состояние _m, где ячейки (k,-k) свободны, а (k,-k) заняты.

Рис. 5. 3. Схема к пониманию взаимодействующих электронов

Введем некоторую функцию ²_k волнового вектора k. Пусть это будет вероятность того, что пара состояний (k,-k) занята. Амплитуду состояния (если свободны) запишем

а_n =

где = 1 - ²_k

Для состояния 2 аналогично запишем

а_m = _k .

Используя (5.6.) запишем полную энергию сверхпроводника в состоянии, описываемом распределением ²_k в виде

Е_s = . (5.9)

Первое слагаемое описывает полную кинетическую энергию системы, _k – энергия электрона в ячейке k, отсчитанная от Е_F.

.

Второе слагаемое в уравнении (5.9.) есть средняя потенциальная энергия взаимодействия электронов, где матричный элемент V_kk определяется формулой (5.2.).

Теперь надо найти такую функцию ²_k, которая будет минимизировать полную энергию Е_S, т.е. ²_k должна удовлетворять условию

,

подставив сюда уравнение (5.9.) и (5.3.) получим

откуда

, (5.10)

где

. (5.11)

Штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется только по состояниям, лежащим в сферическом слое около поверхности Ферми, где V_kk0 (см. выражение (5.2)).

Из (5.10) найдем

,

где

. (5.12)

Тогда квадратичное уравнение по преобразуем

. (5.13)

В этом равенстве стоит знак (-), так как исходя из физических соображений , а _k  Е_k при k  0.

Г рафик от k показан на рис. 5.4. Минимума полная энергия достигает, когда распределение электронов размазано у поверхности Ферми ( при Т=0). Это и есть основное состояние сверхпроводника.