- •Оглавление
- •Сокращения, обозначения и операторы
- •Введение
- •Глава 1. Методология формирования моделей потокораспределения в системах газоснабжения на основе вариационных принципов аналитической механики
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Формирование математических моделей потокораспределения на основе интегральных принципов аналитической механики
- •1.3. Математическое моделирование потокораспределения с изотермическим течением вязкого газа на основе вариационного принципа виртуальных скоростей
- •1.4. Расчет невязок по сетям низкого и среднего давления
- •1.5. Точное потокораспределение в системах газоснабжения (гидравлическая увязка)
- •Глава 2. Математическое моделирование на основе принципов энергетического эквивалентирования городских систем газоснабжения
- •2.1. Условия однозначности в задачах анализа и синтеза транспортных гидравлических систем
- •2.2. Вариационные принципы и эквивалентирование
- •Глава 3. Реструктуризация городских систем газоснабжения, функционирующих по принципу «регулирование по ошибке»
- •3.1. Обзор результатов исследований в области управления функционированием городских систем газоснабжения
- •3.2. Модели потокораспределения системы, функционирующей по принципу «регулирование по ошибке»
- •3.3. Результат реструктуризации городских систем газоснабжения, функционирующих по принципу «регулирование по ошибке»
- •3.4. Синтез дроссельных характеристик модели управления по ошибке городских систем газоснабжения
- •3.5. Дроссельные характеристики управляемых из компьютерного центра дроселей
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Приложение
- •1. Исходные данные
1.4. Расчет невязок по сетям низкого и среднего давления
Расчет узловых невязок сети низкого давления
Для расчета узловых невязок используем таблицы (1.1-1.3) и (1.6-1.7)
Расчет производим по I закону Кирхгофа:
,
г де
Узел № 1:
146,1+194,5-0,5(334,9+285,2)-30,61=-0,06
Узел № 2:
603,4-109,3-148,4-0,5(213,4+250,5+227,3)=0,1
У зел № 3:
У зел № 4:
192,2+145,0-33,3-0,5(303,8+303,8+0)=0
У зел № 5:
У зел № 6:
У зел № 7:
У зел № 8:
У зел № 9:
Узел № 10:
Узел № 11:
У зел № 12:
У зел № 13:
У зел № 14:
У
зел № 15:
15
У зел № 16:
У зел № 17:
У зел № 18:
У зел № 19:
430,6+20,8-85,6-0,5(558,1+0+173,6)=-0,05
У
зел № 20:
20
У
зел № 21:
21
У
зел № 22:
22
Расчет цепных невязок сети низкого давления
Цепь № 1:
Цепь № 2:
Цепь № 3:
Цепь № 4:
Цепь № 5:
Расчет контурных невязок сети низкого давления
Расчет производим по формуле:
Кольцо № 1
Кольцо № 2
Кольцо № 3
Кольцо №4
Кольцо № 5
Кольцо № 6
Кольцо № 7
Кольцо № 8
Кольцо № 9
Кольцо № 10
Кольцо № 11
Расчет узловых невязок сети среднего давления
Узел № 1:
Узел № 2:
Узел № 3:
Узел № 4:
Узел № 5:
Узел № 6:
Узел № 7:
Узел № 8:
Узел № 9:
Узел № 10:
Узел № 11:
Узел № 12:
Узел № 13:
Узел № 14:
Узел № 15:
Для решения задачи параметрической оптимизации из состава пакета прикладных программ привлекается программа управления OPTDP и программы реализации математических методов DECOMP, SOLVE и FORM_A_C.
Из результата предыдущих этапов нам известны: .
Значение , как правило, не совпадает со стандартными значениями Di труб, выпускаемых промышленностью.
Для каждого участка подбираем Di стандартные, ближайшие к сохраняя неизменным Qi.
Изменяются гидравлические потери участков, то есть требуются гидравлическая увязка.
Для выбора стандартных диаметров труб используются программы управления DRAS, DSTAN, а также программы реализации математических методов FUN, MPD.
1.5. Точное потокораспределение в системах газоснабжения (гидравлическая увязка)
Так по результатам предыдущих этапов измерены диаметры, то можно упростить:
,
где ,
или:
После предварительного расчета сети и подбора стандартных диаметров остается невыполненным II закон Кирхгофа.
Можно записать N уравнений:
Для выполнения II закона Кирхгофа необходимо во всех участках элементарных колец так скорректировать расходы, чтобы все контурные невязки стали равны нулю, т.е. .
Наиболее распространенный способ гидравлической увязки – метод Лобачева – Кросса.
На ЭВМ решение задачи точного потокораспределение производится с привлечением программ управления POTOKPR, KNTRPS и программ DECOMP, FORM_A_C и SOLVE в составе пакета программ HYDROGRAPH.
, (1.15)
где С, К, А – «цепная», «контурная» матрицы и матрица инциденций соответственно; Rd– диагональная матрица «гидравлических импедансов»; P*- вектор фиксированных узловых потенциалов; Q, q*- векторы объемных расходов природного газа, приведенные к стандартным условиям; Т – признак транспортирования.
Обозначим подстрочными индексами z, fa, fe элементы гидравлического эквивалента ПГС; подграфа РЗ, эквивалентов АП и эквивалентов микросети соответственно – с сохранением той же последовательности в их сквозной нумерации. В этом случае цепная матрица , контурная и матрица инциденций содержит в своем составе соответствующие подматрицы цепей, контуров и узлов (надстрочный индекс «к» является признаком итеративной перенастройки эквивалентных дуг).
Диагональная матрица гидравлических импедансов в составе цепных и контурных уравнений (1.15), отражающая бинарную структуру графа ПГС, имеет вид:
Математическая модель потокораспределения (1.15) для городских систем газоснабжения в любой момент времени, представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений.
Математика имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель содержит класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов (числе или векторов) и отношения между этими объектами. Математическое отношение – это гипотетическое правило, связывающее несколько символических объектов. Многие отношения описываются при помощи математических операций (операнды) с другим объектом или множеством объектов (результатом операции).
Матрицы – строительные блоки важного класса математических моделей. Аппарат матриц дает возможность более просто представлять различные математические и физические операции с помощью числовых операций над элементами матриц.
Существует алгебра матриц и матричное исчисление, из которого следуют прямоугольные матрицы разряда mхn над полем F. Элементы aik – называются элементами матриц, расположенными в i-й строке и в К-м столбце (m – число строк, n – число столбцов).
Матрица размера nх1 называется столбцом, а матрица 1хn – строкой. Матрица размера nхn называется квадратной матрицей порядка n.
Квадратная матрица называется треугольной (над диагональной), если из i>k следует ; диагональной, если из следует и т.п.. Операции над матрицами определяются операциями над их элементами. Известны также нулевые матрицы [0], размера mхn, все элементы которых равны нулю. Единичная матрица I порядка n есть диагональная матрица размера nхn с единичными диагональными элементами.
Квадратная матрица А называется неособенной (невырожденной), если на имеет обратную матрицу , определяемую условиями . В противном случае А – особенная (вырожденная) матрица.
Квадратная матрица порядка n является невырожденной в случае, если ; в этом случае есть квадратная матрица того же порядка n:
,
где – алгебраическое дополнение элемента в определителе det .
Квадратная матрица не вырождена в том случае, если ее строки (столбцы) линейно не зависимы [59].
Клеточная матрица есть квадратная матрица, которую можно разбить так, что получится диагональная матрица, вдоль диагонали которой идут квадратные матрицы .
Теория линейных векторных пространств и линейных преобразований (линейных операторов) используется во многих важных приложениях. Большинство практических задач требует описания математических моделей с помощью упорядоченных множеств действительных или комплексных чисел. В частности многие математические модели могут быть представлены соответствующими классами матриц, так что абстрактным математическим операциям соответствуют числовые операции над элементами матриц.
Конечное множество векторов линейно независимо, если из следует, что .
В противном случае векторы линейно зависимы и по крайней мере один из них, например ак, может быть выражен в виде линейной комбинации остальных векторов ai этого множества. Это, в частности, верно в том тривиальном случае, когда ak – нулевой вектор.
Вернемся к частной задаче данного раздела математического моделирования потокораспределения, после уяснения необходимой информации по теории линейных векторных преобразований с целью линеаризации мат. модели (пока низкого давления).
Нелинейная модель для i-го участка в составе j-й цепи:
. (1.16)
Цепное уравнение для цепи j:
, (1.17)
где – число участков в составе цепи j.
Здесь используется наиболее представительный режим функционирования системы низкого давления – режим гидравлической гладкости (1.16).
То же, с учетом переменности S и Q:
(1.18)
, т.к. давление РГРП=const (PГРП – рабочее давление ГРП).
Цепное уравнение в абсолютных отклонениях:
. (1.19)
Умножим и разделим (1.19) на (1.16):
После сокращений получаем:
, (1.20)
где .
Контурные уравнения с учетом того, что все УД устанавливаются за пределами кольцевой структуры (то есть , для контура j). Последнее обусловлено тем, что установка УД на участках кольцевой структуры неэффективна с точки зрения управляемости системы, поэтому все УД устанавливаются на ответвлениях от кольцевых структур.
(1.21)
где – число участков, формирующих контур j.
Узловые балансовое уравнение для узла j:
(1.22)
С учетом переменности Q:
или
Согласно узловому балансу тогда
где - число участков, инцидентных узлу j.
Рассмотрим аналогичные преобразования для систем среднего (высокого) давления, реализующее квадратичный режим течения газа.
Нелинейная модель для i-го участка, в составе j-й цепи:
(1.14.1)
Цепное уравнение для цепи j:
(1.14.2)
То же с учетом переменности S и Q:
(1.14.3)
, т.к. рабочее давление Рист=РГРП=const. Рст=Рбар=const.
Цепное уравнение в абсолютных отклонениях:
(1.14.4)
Умножим и разделим (1.14.4) на (1.14.1):
После сокращений получаем:
(1.14.5)
где ,
- число участков, формирующих цепь j.
Узловое балансовое уравнение для узла j:
(1.14.6)
где - число участков, инцидентных узлу j.
Как отмечалось ранее, вычислительный эксперимент для моделирования задачи реструктуризации в невозмущенном состоянии (то есть задача проектирования) будет выполняться для двухступенчатой системы газоснабжения жилого района (рис. 1.3), наиболее полно отражающей многообразие бытовых, коммунальных и промышленных потребителей.