- •Введение
- •1. Теория множеств
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Алгебраические свойства операций над множествами
- •1.4. Нечёткие множества
- •2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Основные правила комбинаторики
- •2.2. Выборки элементов без повторений
- •2.3. Выборки элементов с повторениями
- •2.4. Объединение комбинаторных конфигураций
- •2.5. Бином Ньютона
- •3. Отношения на множествах
- •3.1. Декартово произведение множеств
- •3.2. Булев куб и его свойства
- •3.3. Понятие отношения
- •3.4. Операции над отношениями
- •3.5. Свойства отношений на множестве
- •3.6. Отношения эквивалентности, толерантности и порядка
- •3.7. Нечеткие отношения
- •3.8. Понятие отображения
- •3.9. Алгебраическая операция
- •3.10. Общие сведения об алгебраических системах
- •4 Булевы функции
- •4.1. Основные определения и операции над высказываниями
- •4.2. Типы пф.
- •4.3. Равносильность формул
- •4.4. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •4.5 Алгоритм приведения пф к нормальным формам
- •4.6 Аналитический способ приведения к сднф
- •4.7. Табличный способ приведения к сднф
- •4.8. Табличный способ приведения к скнф
- •4.9. Логическое следствие
- •4.10. Алгоритм проверки правильности рассуждений
- •4.11. Алгоритм определения всех логических следствий из данных посылок
- •4.12. Алгоритм определения всех посылок, логическим следствием которых является данная формула
- •4.13. Полнота систем булевых функций
- •4.14. Полином Жегалкина
- •4.15. Замкнутость
- •4.16. Теорема Поста
- •4.17. Нечеткая логика
- •5. Многозначные функции
- •5.1. Функции и формулы k-значной логики
- •5.2. Полнота и замкнутость функций k-значной логики
- •5.3. Особенности k – значной логики
- •6.. Основные понятия теории графов.
- •6.1. Задачи теории графов.
- •6.2. Основные определения.
- •6.3. Степени вершин графа.
- •6.4. Изоморфизм графов.
- •6.5. Матричные способы задания графов.
- •6.6. Основные операции над графами.
- •6.7. Маршруты в графах
- •6.8. Связность в графах.
- •Связность и матрица смежности графа.
- •6.9. Матрица взаимодостижимости.
- •6.10. Деревья Свободные деревья.
- •Ориентированные, упорядоченные и бинарные деревья.
- •6.11. Эйлеровы графы.
- •6.12 Гамильтоновы графы.
- •6.13. Планарные графы.
- •6.14. Потоки в сетях. Основные определения.
- •Теорема Форда и Фалкерсона.
- •Алгоритм построения максимального потока в сети.
- •7. Конечные автоматы
- •7.1. Понятие конечного автомата Общие сведения о конечных автоматах
- •7.2. Абстрактное определение конечного автомата
- •7.3. Автоматная функция и её моделирование Понятие ограниченно детерминированной функции
- •Моделирование автоматной функции с помощью схемы из функциональных элементов и задержки
- •7.4. Эксперименты с автоматами
- •8. Рекуррентные уравнения
- •8.1. Определение рекуррентного уравнения/ Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
- •8.2. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения
- •8.3. Решение рекуррентного уравнения для чисел Фибоначчи
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1.Теория множеств 5
- •2 Элементы комбинаторики 14
- •3 Отношения на множествах 22
- •4. Булевы функции 42
- •5. Многозначные функции 64
- •6. Основные понятия теории графов 70
- •7. Конечные автоматы 106
- •8. Рекуррентные уравнения 120
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
6.10. Деревья Свободные деревья.
Деревом называется связный граф без циклов (контуров).
Несвязный граф без циклов (контуров) называется лесом. Компоненты связности леса являются деревьями.
Подграф G1=(V1, E1) графа G=(V, E) называется остовным деревом в графе G=(V, E), если G1=(V1, E1) – дерево и V1=V.
Дерево – это минимальный связный граф, т.к. при удалении хотя бы одного ребра (дуги) он теряет связность. Неориентированное дерево называется свободным.
Например: 1) Диаграммы всех различных свободных деревьев с 5-ю вершинами:
Рис. 27
2 ) Диаграммы всех различных свободных деревьев с 6-ю вершинами:
Рис. 28
Лемма 1. Если граф G=(V, E) связный и ребро (u, v) содержится в некотором цикле графа G, то при удалении этого ребра получится новый связный граф.
Доказательство: При удалении ребра (u, v), вершины u и v останутся в одной и той же связной компоненте, т.к. они остаются связными за счет оставшейся части цикла.
Теорема 1. Любой связный граф содержит хотя бы одно остовное дерево.
Доказательство: Если в графе G нет циклов, то G является искомым остовным деревом, если в G есть цикл, то удалим из G какое-нибудь ребро, входящее в цикл. В результате этого получается некоторый подграф G1. По лемме 1 G1 – связный граф. Если в графе G1 нет циклов, то G1 есть искомое остовное дерево. В противном случае процесс продолжается. Этот процесс должен завершиться, т.к. Е – конечное множество.
Лемма 2. Если к связному графу добавить новое ребро на тех же вершинах, то в нём появится цикл.
Доказательство: Пусть G=(V, E) – связный граф. Пусть uV, vV, (u, v)E. Т.к. G – связный граф, то в нем есть цепь от v к u, при этом она является простой цепью соединяющей v и u. Поэтому во вновь полученном графе с добавленным ребром (u, v) имеется цикл C(u, v).
Лемма 3. Пусть в графе G=(V, E) имеется n вершин и m ребер. Тогда в G не менее n-m связных компонент. Если при этом в графе G нет циклов, то он состоит ровно из n-m связных компонент.
Доказательство: Пусть к некоторому графу H, содержащему вершины u и v добавляется ребро (u, v). Тогда, если u и v лежат в разных связных компонентах графа H, то число связных компонент уменьшается на единицу. Если u и v лежат в одной связной компоненте графа H, то число связных компонент не уменьшится. Таким образом, число связных компонент при добавлении ребра уменьшается не более чем на единицу. Значит, при добавлении m ребер, число связных компонент уменьшается не более чем на m. Т.к. граф G, можно получить из графа G1=(V,Ø), добавлением m ребер, то в графе G не менее n-m связных компонент. Пусть далее в графе G нет циклов, и пусть в процессе получения G из G1 добавляется ребро (u, v). Если бы u и v лежали в одной связной компоненте, то в G, согласно лемме 2, возникал бы цикл. Следовательно, u и v лежат в разных связных компонентах и при добавлении ребра (u, v) число связных компонент уменьшается ровно на 1. Следовательно, G состоит ровно из n-m компонент.
Теорема 2. О различных определениях свободного дерева. (Свойства свободных деревьев).
Следующие пять определений эквивалентны:
G – свободное дерево
G – без циклов и m=n-1
G – связный граф и m=n-1
G –связный граф, но при удалении любого ребра становиться несвязным
G – без циклов, но при добавлении любого ребра на тех же вершинах появляется цикл
Доказательство: Если доказать, что 1)2)3)4)5)1), то из любого условия вытекает любое другое.
1)2) Т.к. G – связный граф и G не содержит циклов, то n-m=1 по лемме 3. Отсюда m=n-1.
2)3) По лемме 3 число связных компонент равно n-m=1, т.е. граф G – связный граф.
3)4) При удалении одного ребра n-m=2. Тогда по лемме 3 число связных компонент не менее, чем n-m=2 т.е. граф несвязный.
4)5) Если G имеет цикл, то согласно лемме 1 можно удалить одно ребро так, что граф останется связным. Согласно лемме 2, если добавить любое новое ребро к связному графу на тех же вершинах, то появиться цикл.
5)1) Доказательство ведётся от противного. Предположим, что если G несвязный граф и вершины u и v лежат в разных компонентах графа G, но добавление к G ребра (u, v) очевидно, не порождает циклов, что противоречит 5). Отсюда следует, что G связный граф. Теорема доказана.
Вершина в графе называется концевой (висячей), если её степень равна 1. Ребро инцидентное концевой вершине называется концевым. Конечное дерево, состоящее более чем из одной вершины, имеет хотя бы две концевые вершины и одно концевое ребро.