1.2. Операции над множествами

Существует несколько способов конструирования нового множества из некоторого количества исходных множеств. Эти способы представляют собой операции над множествами.

Подмножеством A множества B (AB) или (A содержится в B) называется множество A, каждый элемент которого принадлежит B. Графически это изображается с помощью кругов Эйлера, как показано на рисунке.

Р ис. 1

А

Пустое множество есть подмножество любого множества.

Совокупность всех подмножеств множества А называется множеством-степенью и обозначается P(А), то есть P(А)={ВВА}.

Множества A и B называются равными (A=B), если AB и BA.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Совокупность всех допустимых объектов в рамках решаемой задачи называется универсальным множеством и обозначается U.

Дополнением множества A называется множество Ā, состоящее из элементов универсального множества, не являющихся элементами множеством A.

Рис. 2

Пересечение множеств AB, есть множество элементов принадлежащих A и B.

Рис. 3

Объединение AB есть множество всех элементов принадлежащих A или B. Следует иметь в виду, что существуют два значения союза или:

1) «исключающее или» - либо то, либо другое и третьего не дано;

2) «не исключающее или» - то или другое, или то и другое вместе.

В определении объединения множеств подразумевается второе “не исключающее или”, то есть элемент может принадлежать только A, только B, а также одновременно этим множествам

Рис. 4

Разность A\B, есть множество, состоящее из элементов A, не входящих в множество В.

Рис. 5

Симметричная разность

Рис. 6

1.3. Алгебраические свойства операций над множествами

Таблица 1

1. идемпотентность
1.1. AA=A	1.2. AA=A
2. коммутативность
2.1. A B=BA	2.2 AB=BA
3. ассоциативность
3.1. A(BC)=(AB)C	3.2 A(BC)=(AB)C
4 дистрибутивность
4.1.A(BC)=(AB)(AC)	4.2 A(BC)=(AB)(AC)
5. поглощение
5.1. A(AB)=A	5.2. A(AB)=A
6. свойства нуля
6.1. AØ=A	6.2. AØ=A
7. свойства единицы
7.1. AU= U	7.2. AU=A
8. инволютивность
9. законы де Моргана
9.1.	9.2
10. дополнительность
10.1. AĀ=U	10.2 AĀ=Ø

1.4. Нечёткие множества

Пусть U-универсальное множество (универсум), А – некоторое подмножество множества U т.е. . Тот факт, что элемент х множества U принадлежит подмножеству А обозначается в виде . Для выражения этой принадлежности можно воспользоваться понятием характеристической функции

В данном случае характеристическая функция принимает только два значения 0 и 1.

Нечетким множеством А множества U называется множество упорядоченных пар

_,

где - функция принадлежности, принимающая свои значения из вполне упорядоченного множества .

Если , то нечеткое множество рассматривается, как обычное множество, являющиеся подмножеством универсального множества U.

Ф ункция принадлежности может задаваться графически. Для этого в прямоугольной системе координат по оси ординат откладывается значение и по оси абсцисс элементы множества U.

Рис. 7

В случае конечного множества используется следующая запись:

Здесь знак + обозначает объединение элементов.

Например, запись

означает, что элемент универсума:

1 принадлежит А со степенью 0

2 принадлежит А со степенью 0.1

2 принадлежит А со степенью 1.0

Множество пусто, т.е. , если . . Нечёткое множество является универсальным (A=U), если / Два множества А и В равны, т.е. А=В, если .

Множество А включается в В, т.е. если .

Множество есть дополнение А, если .

Пересечение множеств А и В, если .

Объединение .

Пример

Разность нечетких множеств .

Пример

Симметричная разность нечетких множеств

Прямое произведение нечетких множеств

Пример

.

Таблица 2

		B
		1		2
A	1		0.5	1
	2		0.5	0.7

Операция концентрации возводит функцию принадлежности в квадрат.

Операция деконцентрации извлекает квадратный корень из функции принадлежности.