4.4. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы

Теорема 1. Для любой ПФ имеет место равносильность называемая дизъюнктивным разложением по переменной Х₁.

Теорема 2. Для любой ПФ имеет место равносильность называемая конъюнктивным разложением по переменной Х₁.

Таким образом, для любой ПФ существует равносильная ей, содержащая только константы 0 и 1, символы и переменные.

ПФ называется элементарной конъюнкцией (конъюнктом), если она является конъюнкцией переменных и отрицаний переменных (конъюнкцией литер).

ПФ называется элементарной дизъюнкцией (дизъюнктом), если она является дизъюнкцией переменных и отрицаний переменных (дизъюнкцией литер).

Говорят, что ПФ задана в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), если она является дизъюнкцией элементарных конъюнкций.

Пример. – ДНФ.

Говорят, что ПФ задана в конъюнктивной нормальной форме (КНФ), если она является конъюнкцией элементарных дизъюнкций.

Пример. – КНФ.

На основе равносильных преобразований любая формула может быть приведена к нормальной форме (ДНФ или КНФ).

4.5 Алгоритм приведения пф к нормальным формам

Алгоритм приведения ПФ к нормальным формам описывает следующая последовательность шагов.

Шаг 1. Если ПФ содержит операции → и ↔, то их исключить с помощью равносильностей

, .

Шаг 2. Привести отрицания к независимым переменным, используя законы де Моргана.

Шаг 3. Раскрыть скобки по дистрибутивному закону конъюнкции относительно дизъюнкции для приведения к ДНФ или по дистрибутивному закону дизъюнкции относительно конъюнкции для приведения к КНФ.

Пример. Определить нормальные формы для ПФ .

Действуя, в соответствии с алгоритмом 1.1.5.1, получим ДНФ.

П рименяя к полученной ДНФ дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции, получим

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) данной ПФ называется ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция содержит все переменные – без отрицания или с отрицанием, но не вместе.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной ПФ называется КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция содержит все переменные – без отрицания или с отрицанием, но не вместе.

Существует два способа перехода к совершенным формам табличный и аналитический.

4.6 Аналитический способ приведения к сднф

Для приведения ПФ к СДНФ выполняются равносильные преобразования, описанные следующей последовательностью шагов.

Шаг 1. С помощью равносильных преобразований привести ПФ к ДНФ.

Шаг 2. Те элементарные конъюнкции, в которые сомножителями входят не все переменные, умножить на единицы, представленные в виде дизъюнкций каждой недостающей переменной с ее отрицанием.

Шаг 3. Раскрыть скобки по соответствующему дистрибутивному закону.

Шаг 4. Для получения искомой СДНФ исключить повторения.

Замечание. Приведение к СКНФ осуществляется аналогично, но только к элементарным дизъюнкциям, содержащим слагаемыми не все переменные, прибавляют нули, представленные в виде конъюнкций каждой недостающей переменной с ее отрицанием.

Пусть ПФ, содержащая переменные X, Y, Z, имеет ДНФ вида . Используя аналитический способ привести к СДНФ.

З аметим, что в первую элементарную конъюнкцию не входит переменная Y, а во вторую – переменная Х. В соответствии с процедурой приведения к СДНФ первую элементарную конъюнкцию умножим на , а вторую – на . Получим