4.3. Алгоритмическое обеспечение риск-анализа систем в диапазоне ущербов
Рассмотрим экспоненциальное семейство
распределений плотности вероятности
наступления ущерба с областью определения
u>0. К таковым относятся логнормальное,
экспоненциальное и гамма-распределения,
распределения Релея, Вейбула и Эрланга
[55, 60]. Соответствующие им аналитические
выражения риска представлены в табл.
4.11.
Анализ аналитических выражений риска (табл. 4.11) позволяет для первых пяти видов распределения сделать следующее обобщение
где:
Таблица 4.11
Аналитические выражения для риска
Вид распределения плотности вероятности ущерба |
Аналитическое выражение для риска |
1 |
2 |
Экспоненциальный |
|
Релея |
|
Гамма |
|
Эрланга |
|
Вейбулла |
|
Логнормальный |
|
С целью нахождения значений ущерба по заданному уровню риска для (1) составим следующее уравнение
где:
пиковое
значение риска;
k– коэффициент (k<1) задающий уровень
отсчета от
.
Для поиска решения уравнения (4.2) прологарифмируем его
Далее разложим натуральный логарим в ряд
Ограничимся первыми двумя членами ряда. Здесь погрешность составит для x=2 менее 1%, а для x=4 около 3%. Принимая данную погрешность допустимой, запишем уравнение
Произведем следующую замену переменных
где область определения -1<y<1.
Соответственно обратное преобразование будет иметь вид
В результате получим уравнение
где
Приводя (4.22) к общему знаменателю, получаем
Далее сгруппируем члены по степеням и в результате получим уравнение четвертой степени
которое, как известно, может быть решено
в аналитическом виде. Два корня этого
уравнения будут комплексными числами,
а два других, имеющими физический смысл,
действительными. Для них следует
произвести обратное преобразование и
получить значения
Графически это решение можно
проиллюстрировать с помощью рис. 4.1.
Соответствующий алгоритм представлен
на рис. 4.2.
Рис. 4.1. Границы ущербов по заданному уровню риска
Рис. 4.2. Блок-схема алгоритма поиска граничных значений ущерба по заданному уровню риска
По аналогии для логнормального распределения плотности вероятности наступления ущерба посредством логарифмирования может быть получено уравнение
где:
Осуществляя замену
и раскрывая скобки, имеем уравнение
решением которого являются корни
Отсюда
Расчет данного выражения не представляет труда.
Полученные результаты служат методической и алгоритмической основой для нахождения границ ущербов (диапазона ущерба) для заданного уровня риска, что является важной задачей риск-анализа.
Узкополосность характеристики риска (рис. 3) может быть оценена следующим образом
где
– значение данного параметра по уровню
.
Для логнормального распределения она
имеет следующий вид
Как видно, узкополосность характеристики
не зависит от n и определяется параметром
.
При отсчете по уровню 3дБ имеем
.