3.4. Некоторые рекомендации

Известно, что субъективная вероятность, получаемая экспертным путем, существенно зависит от используемого метода. В частности, эксперт нередко склонен преувеличивать вероятность наименее вероятного события, а также недооценивать вероятность наиболее вероятного или преувеличивать дисперсию оцениваемой случайной величины. Рассмотрим несколько рекомендаций, выполнение которых позволит корректно проводить опрос эксперта с помощью различных методов:

а) Необходимо обучить эксперта процедуре проведения экспертизы. Особенно это касается экспертов, имеющих слабую подготовку по теории вероятностей.

б) Надо отдавать себе отчет в том, что сама процедура опроса эксперта является лишь одним звеном во всем процессе определения вероятностей. Предшествующие шаги по вычленению событий и выбору подходящего метода столь же важны. Нельзя пренебрегать также и последующим анализом полученных вероятностей с целью возможной их корректировки.

в) Старайтесь применять объективную информацию о вероятностях событий, например данные о том, как такие события происходили в прошлом. Эта информация должна быть доведена до эксперта. Не забывайте также обрабатывать алгебраическим путем предыдущие оценки эксперта, чтобы сопоставлять их с его новыми оценками.

г) Для проверки надежности представленных данных рекомендуется обращаться к каким-либо другим методам нахождения субъективной вероятности или даже к модификации методов. Определенные различными методами вероятности необходимо показать эксперту для уточнения его оценок.

д) При выборе конкретного метода нужно учитывать оценку работы эксперта с числовыми показателями. И если такой опыт недостаточен, то метод фиксированного интервала непригоден, так как предполагает числовые оценки. Более подходящим в этом случае будет метод изменяющегося интервала, поскольку в его рамках от эксперта требуется лишь утверждение о равной вероятности двух интервалов. В любом случае, употребление знакомых эксперту понятий, фраз, вопросов и шкал облегчает возможности численного представления вероятности.

е) Всегда, когда это возможно, старайтесь получать субъективную вероятность от нескольких экспертов, а затем некоторым образом агрегировать ее в одну.

ж) Сложные методы, требующие больших усилий от эксперта, например метод лотерей, лучше не применять, за исключением случаев, когда имеются серьезные аргументы в пользу выбора этих методов.

Выполнение этих рекомендаций позволяет существенно улучшить оценки вероятности.

4. Меры риска систем на основе вероятностных параметров и характеристик ущерба

4.1. Аналитический подход к расчету параметров рисков для компонентов систем

Реализация атак на систему может нанести ей ущерб некоторой величины. Атаки на компоненты систем являются многоплановыми и непредсказуемыми и, зачастую, не оставляют надежд для детерминированного описания этих процессов и возникающих в результате их реализации ущербов. В связи с этим можно полагать, что ущерб от атак данного типа является случайной величиной. Для описания ущерба как случайной величины используется аппарат теории вероятностей и математической статистики, практикующий подход с использованием различных функций и законов распределения вероятности случайной величины, среди которых наибольшей популярностью пользуются регулярные законы. В этом классе наиболее практическое применение нашли законы, определенные на [0;+ ): экспоненциальный и логнормальный законы; гамма-распределение; распределение Эрланга, Вейбула и Релея [60].

Функция распределения является основой для исследования непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина – случайная величина, значения которой образуют несчетные множества. Значение функции распределения непрерывной случайной величины в точке определяет вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше заданного.

Плотность или закон распределения вероятностей случайной величины имеет смысл первой производной функции распределения. Соответственно интегральная функция распределения плотности вероятности имеет вид [62]:

(4.1)

Так как ущерб – величина положительная, то интегральная функция распределения представляет собой определенный интеграл от плотности распределения в пределах от 0 до + .

(4.2)

Основными характеристиками ущерба как случайной величины являются:

- математическое ожидание (имеет смысл среднего значения ущерба, начальный момент первого порядка);

- дисперсия (характеризует разброс значений ущерба относительно математического ожидания, центральный момент второго порядка);

- центральные моменты третьего и четвертого порядков (определяются математическим ожиданием разности между текущим значением и начальным моментом первого порядка, возведенной в соответствующую степень).

Важнейшей характеристикой при оценке ущерба является математическое ожидание, характеризующее его среднее значение. Формула для расчета математического ожидания имеет следующий вид:

(4.3)

для непрерывного распределения вероятностей ущерба.

Дисперсия также является весьма важной характеристикой ущерба как случайной величины. Дисперсия показывает разброс случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия ущерба определяется по формуле (4.4):

. (4.4)

Среднеквадратическое отклонение (первый центральный момент) ущерба имеет вид .

Следует также отметить, что крайне важное значение имеют начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайно распределенной величины ущерба в общем виде является математическое ожидание k-й степени его величины.

(4.5)

(4.6)

Центральным моментом порядка k случайной величины ущерба называется математическое ожидание k-й степени соответствующей центрированной случайной величины [45]:

(4.7)

(2.8)

(4.8)

Следует отметить, что первый начальный момент – нечто иное как математическое ожидание ( ), а второй центральный момент – это дисперсия случайной величины ущерба ( ).

С использованием этих величин вводится коэффициент асимметрии распределения значений ущерба в системе:

(4.9)

Коэффициент асимметрии показывает, насколько распределен ущерб относительно своего среднего значения, и не имеется ли в распределении асимметрии. Используя коэффициент асимметрии, можно узнать о направленности асимметрии. Если A_s>0, то распределение имеет правостороннюю асимметрию, а если A_s<0 – асимметрия левосторонняя.

Четвертый центральный момент является характеристикой островершинности распределения ущерба. Для того, чтобы описать это свойство, в теории вероятностей с помощью него вводится эксцесс случайной величины.

(4.10)

Коэффициент эксцесса ущерба показывает, является ли распределение ущерба более островершинными, нежели нормальное (нормальное распределение имеет ). При значении ( ) распределение более островершинно, а при - менее.

Мода – значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность.

U₀ – мода, соответствующая максимальному значению .

Риск может быть найден как произведение величины ущерба на вероятность наступления данного ущерба [1, 18, 30, 31, 33, 58, 59, 61, 66].

, (4.11)

где U_t - ущерб от реализации атак,

P(U_t) - вероятность наступления ущерба U.

Для нахождения риска системы в целом, необходимо определить аналитические параметры риска.

Начальные моменты риска определяются следующим образом:

(4.12)

Отсюда среднее значение ущерба для кривой риска равно:

(4.13)

Центральный момент риска k-го порядка находится следующим образом:

(4.14)

Найдем центральные моменты 2-го, 3-го и 4-го порядка.

Отсюда среднеквадратическое отклонение будет равно:

Но, так как:

,

то

.

Следовательно, центральный момент 2-го порядка может быть выражен следующим образом:

(4.15)

и среднеквадратическое отклонение:

(4.16)

_{Осуществляя подстановку (4.13) имеем:}

(4.17)

Осуществляя подстановку (4.13) имеем:

(4.18)

Приведем соотношения, связывающие центральные и начальные моменты различных порядков. Особенность состоит в том, что эти соотношения справедливы как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

(2.19)

Для удобства дальнейшего анализа все аналитические выражения для расчета параметров риска сведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Обобщенные аналитические выражения для расчета параметров риска

Параметры риска	Аналитические выражения параметров
k-й начальный момент
Математическое ожидание (1-й начальный момент)
2-й центральный момент (дисперсия)
3-й центральный момент
Продолжение табл. 4.1
Параметры риска	Аналитические выражения параметров
4-й центральный момент
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Среднеквадратическое отклонение