5. Рекомендуемый перечень тем практических занятий
1-2. |
Операции над событиями. Вычисление вероятностей с использованием формул комбинаторики. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. |
3-4. |
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. |
5. |
Формулы Бернулли и Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Отклонение от- носительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Наивероятнейшее число появления событий в независимых испытаниях. |
6 |
Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Распределение Пуассона, биномиальное. |
7 |
Непрерывные случайные величины. Их числовые характеристики. Нормальное распределение. Показательное распределение. Вероятность попадания в заданный интервал. Правило трех сигм. |
8 |
Числовые характеристики системы двух случайных величин. Законы распределения вероятностей составляющих. |
9 |
Статистические оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины. Точечные оценки параметров распределения |
10 |
Элементы линейного корреляционного анализа. Уравнение линейной регрессии. |
11 |
Методы расчета сводных характеристик выборки. Статистическая проверка гипотез. |
12-13 |
Классификация уравнений второго порядка. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Прием коллоквиума. |
14 |
Уравнения первого порядка. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Нелинейные дифференциальные уравнения с n независимыми переменными. |
15-16 |
Вариационное исчисление. Задачи вариационного исчисления. Понятие функционала. Вариация функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Постановка задачи оптимальног о управления . |
17-18 |
Введение в дискретную математику. Элементы комбинаторного анализа |
6. Календарный план чтения лекций
Номер и краткое название лекции |
№№ недель |
Лекция 1. Множества. Операции над множествами. Булевы алгебры Алгебра событий Вероятность - аддитивная функция событий. Аксиомы теории вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события. Алгебраические операции над событиями. Отношения между ними (2 ч.). |
23 |
Лекция 2-3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимые и зависимые события. Теорема о полной вероятности. Формула Байеса. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Предельные теоремы (локальная и интегральная) Муавра-Лапласа и Пуассона .Одномерные случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функции распределения и их свойства. (4 ч.). |
24-25 |
Лекция 4. Распределения случайных величин: биномиальное, Пуассоновское. Интегральная и дифференциальная функции распределения непрерывных случайных величин. Равномерное, показательное и нормальное распределение. Вероятность попадания в заданный интервал. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия. Начальные и центральные моменты (2 ч.). |
26 |
Лекция 5. Двумерные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения двумерной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в полу-полосу, в прямоугольник. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия. Корреляционный момент и коэффициент корреляции (2ч). |
27 |
Лекция 6. Функции случайных величин. Законы распределения функций случайных величин. Задача композиции. Нормальный закон распределения на плоскости. Предельные теоремы вероятностей. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина (без доказательств). Самостоятельное изучение. Понятие о случайном процессе. Процесс Пуассона. Марковские случайные процессы. Процессы с независимыми приращениями (2 ч.). |
28 |
Лекция 7. Математическая статистика. Основные понятия выборочного метода. Вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Эмпирические функции распределения. Точечные оценки параметров распределения по выборке, понятие о состоятельности и несмещенности оценок (2 ч.). |
29 |
Лекция 8-9. Статистическая проверка гипотез. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Элементы корреляционного анализа. Самостоятельное изучение. Понятие о выборочной регрессии и методе наименьших квадратов. Принцип максимального правдоподобия. Уравнения линейной регрессии. Теснота связи и ее оценка по выборочному коэффициенту корреляции. Понятие о нелинейной регрессии. Основы вычислительного эксперимента. Статистическая проверка гипотез. (4 ч.). |
30-31 |
Лекция 10-11. Непрерывное преобразование Фурье, дискретное преобразование Фурье их свойства и применение (4 ч.). |
32-33 |
Лекция 12. Классификация уравнений второго порядка. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье. Самостоятельное изучение. Решение неоднородных уравнений с частными производными гиперболического типа методом Фурье (2 ч.). |
34 |
Лекция 13-14. Уравнения первого порядка. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Нелинейные дифференциальные уравнения с n независимыми переменными. (4 ч.). |
35-36 |
Лекция 15-16. Вариационное исчисление. Задачи вариационного исчисления. Понятие функционала. Вариация функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Задачи вариационного исчисления. Понятие функционала. Вариация функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Численные методы в задачах вариационного исчисления Самостоятельное изучение. Постановка задачи оптимального управления. Формулировка необходимого условия оптимального управления в форме принципа максимума А. С. Понтрягина. (4 ч.). |
37-38 |
Лекция 17-18. Введение в дискретную математику. Элементы комбинаторного анализа, математической логики, Булевы алгебры, теории графов. (4 ч.) |
39-40 |
7. Темы, выносимые
на самостоятельное изучение
ТЕМА 1
Процесс Пуассона.
Марковские случайные процессы.
Процессы с независимыми приращениями
[1] c. 455-460.
Контрольные вопросы и задания
Привести примеры практических задач, cвязанных со случайными величинами, изменяющихся во времени.
Расскажите о понятии инвариантности.
Какой случай процесс называется стационарным?
Что называется корреляционной функцией случайного процесса?
Основные понятия
Практические задачи часто бывают связаны с изучением случайных величин, изменяющихся во времени. Например, помехи радиоприема случайны и зависят от времени, этим же свойством обладают отклонения управляемого объекта от расчетной траектории. Математической абстракцией подобных процессов является понятие случайного процесса или случайной функции X(t). Случайный процесс Х(t) характеризуется следующими чертами:
1)
при каждом значении времени
=
определена
случайная величина
со своим законом распределения f(x).
Случайная величина
называется
сечением случайного процесса Х(t)
в точке
;
2)
случайные величины Х(
)
и Х(
),
как правило, зависимы, в особенности,
если
и
близки (т.е.
при малых
| - |). Если рассмотреть последовательность моментов времени
,
,…,
(|
–
|
= ∆)
(1.1)
и соответствующие им случайные величины
Х( ), Х( ), …, Х( ) (1.2)
- сечения процесса Х(t), то можно говорить о совместном распределении этих случайных величин.
Функции
(1.3)
Называются n – мерными конечномерными функциями распределения случайного процесса ( n = 1, 2, … ).
Функции
называются
k
– мерными
дифференциальными конечномерными
функциями распределения случайного
процесса.
Справедлива
формула
(1.4)
Функция
для
каждого набора аргументов задает
вероятность (в случае ДСВ) или плотность
вероятности (в случае НСВ) события Х(
)
=
,
Х(
)
=
,…,
Х(
)
=
при условии,
что наступило событие Х(
)
=
,
…, Х(
)
=
.
Изложенная точка зрения на случайную функцию показывает, что это понятие является весьма сложным. Все же в некоторых случаях бывает полезным рассматривать совместное распределение величин (1.2).
Определение 1. Математическим ожиданием случайного процесса (случайной функции) Х(t) называется неслучайная функция M(X(t)), значение которой в каждой точке равно математическому ожиданию случайной величины Х( ) – сечения случайного процесса Х(t).
Определение
2. Дисперсией
случайного
процесса Х(t)
называется неслучайная функция D(Х(t)),
значение которой в каждой точке
равно дисперсии случайной величины
Х(
)
- сечения случайного процесса Х(t).
По определению среднеквадратическое
отклонение
X(t)
случайного процесса X(t)
равно квадратному корню из его дисперсии,
т.е.
X(t)
.
Определение
3. Ковариационной
функцией
случайного
процесса X(t)
называется неслучайная функция cov(s,t),
значение ее в точке
равно
ковариации случайных величин
и
–
сечений случайного процесса X(t)
в точках
и
.
Нормированной
ковариационной функцией
случайного
прочеса X(t)
называется неслучайная функция
,
значение которой в каждой точке
равно коэффициенту корреляции случайных
величин
и
– сечений случайного процесса X(t)
в точках
и
.
Справедлива формула:
.
(1.5)
Рассматривают так же ковариационную функцию
(s,
t)
и нормированную
ковариационную функцию
(s,
t)
пары случайных процессов X
и Y.
По определению
(s,
t)
=
,
(1.6)
(1.7)
При этом справедливы отношения:
,
(1.8)
Значения функций (s, t) и (s, t) измеряют степень линейной зависимости сечений X(t) и Y(t). Ковариационную и нормированную ковариационную функции случайного процесса X(t) называют иногда соответственно автоковариационной и нормированной автоковариационной функцией.