9. Обработка и интерпретация результатов.

Полученные результате расчетов на ЭВМ выходные данные, как правило, представляют собой большие массивы чисел. Для того чтобы исследователь мог воспользоваться результатами расчетов, их необходимо представить в виде компактных таблиц, графиков или в иной удобной для восприятия форме.

10. Использование результатов и коррекция матема­- тической модели. Завершающий этап состоит в использова­- нии результатов расчетов в практической деятельности, иначе говоря, во внедрении результатов. Отметим некоторые достоинства вычислительного экспе­римента по сравнению с натурным. Вычислительный экспери­мент, как правило, дешевле физического. Разработка программного обеспечения вычислительного эксперимента в конкретной области инженерной деятельности приводит к созданию крупного программного комплекса. Такой комплекс программ иногда называют проблемно-ориентированным пакетом прикладных программ. Сделаем следующие выводы из вышеизложенного мате­риала о применении вычислительного эксперимента для решения инженерных задач.

1. Математическое моделирование является основой со-­ временной методологии решения инженерных задач, и его роль возрастает в связи с необходимостью решения все более сложных прикладных проблем.

2. Эффективность применения ЭВМ в той или иной

об­ласти науки и техники тем выше, чем совершеннее ее

математические модели. В то же время использование ЭВМ для ис­следования каких-либо процессов часто служит серьезным стимулом для создания новых математических моделей и детального изучения этих процессов другими методами.

3. Само по себе применение ЭВМ не позволяет решить инженерную задачу, а лишь дает в руки исследователя

4. Вычислительный эксперимент не противоречит натур­ ному эксперименту и классическому математическому анализу инженерной задачи, а, напротив, находится с ними в

органическом единстве.

5. Для успешного применения метода математического моделирования с использованием ЭВМ необходимо гармони­- ческое владение всеми его составляющими.

Форма контроля: устный опрос.

ТЕМА 6

Вариационное исчисление. Задачи вариационного

исчисления. Понятие функционала.

Уравнения Эйлера-Лагранжа

[4] с. 23-34.

Контрольные вопросы и задания

1. Что означают слова: функционал достигает экстремума в точке (минимума, максимума)?

2. Дайте определение вариации функционала. Чему она равна в точке экстремума?

3. Какая задача называется задачей вариа­ционного исчисления с закрепленными граничными точками?

4. Какое утверждение является основой для решения простейшей задачи вариационного исчисления?

5. Запишите уравнение Эйлера.

6. Что называют экстремалями функционала ?

Основные понятия

Кроме задач, в которых необходимо определить максимальные и минимальные значения некоторой функции z= f(x), в задачах физики, возникает необходимость найти максимальные или минимальные значения величин, называемых функционалами.

Функционалами называются переменные величины, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций. Например, функционалом является длина l дуги плоской (или пространственной) кривой, соединяющей две заданные точки А(х₀,у₀) и B(x₀, у₀) (см. рис. A). Величина l может быть вычислена, если задано уравнение кривой у = у(х); тогда

Рис. A.

Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум, называются вариационными задачами. Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума или максимума. В такой формулировке эти законы носят название вариационных принципов механики или физики. К числу таких вариационных принципов принадлежат: принцип наименьшего действия, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения количества движения, закон сохранения момента количества движения, различные вариационные принципы классической и релятивистской теории поля, принцип Ферма в оптике, принцип Кастилиано в теории упругости и т. д.

Пример 1. На каких кривых может достигать экстремума функционал

Уравнение Эйлера имеет вид у" + у = 0; его общим решением является y=C₁ cos x+C₂ sin x. Используя граничные условия, получаем: C₁=0, C₂=0; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой у = sin х.

Пример 2.

Уравнение Эйлера имеет вид или у-х=0. Первое граничное условие у(0)= 0 удовлетворяется, но второе граничное условие удовлетворяется лишь при а = 1. Если же , то экстремали, удовлетворяющей граничным условиям не существует.

Форма контроля: устный опрос.