1. Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план)

NN

Разделы дисциплины

Лекции

(часы)

Практ. Заня-тия (часы)

11

1

Теория вероятностей

Множества. Операции над множествами. Булевы алгебры.

Серии опытов со случайными исходами. Частота. Свойства частот. Математическая схематизация случайных явлений.

Пространство элементарных событий. Случайные события. Алгебраические операции над событиями. Отношения между ними. Алгебра событий.

Элементы комбинаторики. Вероятность - аддитивная функция событий.

Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства. Классическое определение вероятности.

Совместные и несовместные события. Теорема сложения для несовместных событий. Независимые и зависимые события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Условная вероятность. Умножение вероятностей для зависимых событий. Теорема о полной вероятности. Формула Бейеса.

Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Предельные теоремы (локальная и интегральная) Муавра-Лапласа и Пуассона. Вероятностные отклонения частоты появления событий в независимых испытаниях от вероятности на заданную величину.

Случайные величины. Функция случайной величины и ее свойства. Функция распределения и ее свойства. Непрерывное и дискретное распределения. Биномиальное распределение, распределение Пуассона. Простейший поток событий. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

Равномерное и показательное распределения. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия. Начальные и центральные моменты.

12

12

2

2

Нормальное распределение.

Вероятностный смысл параметров. Вероятность попадания в заданный интервал. Правило трех сигм.

Двумерные случайные величины. Интегральная функция распределения двумерной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в полу-полосу и в прямоугольник. Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины.

Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Коэффициент корреляции. Функции случайных величин. Законы распределения функций случайных величин. Задача композиции. Нормальный закон распределения на плоскости.

Предельные теоремы вероятностей. Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина (без доказательств).

Модели случайных процессов. Процесс Пуассона.

32

Элементы математической статистики

Математическая статистика. Основные понятия выборочного метода. Эмпирические функции распределение известных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок. Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины, распределенной по нормальному закону. Статистическая проверка гипотез. Статистические методы обработки экспериментальных данных.Элементы корреляционного анализа. Понятие о выборочной регрессии и методе наименьших квадратов. Принцип максимального правдоподобия. Основные свойства регрессии. Уравнения линейной регрессии. Теснота связи и ее оценка по выборочному коэффициенту корреляции.

Понятие о нелинейной регрессии. Основы вычислительного эксперимента.

6

6

33

Интегральные преобразования

Фурье

Непрерывное преобразование

Фурье, дискретное преобразование

Фурье их свойства и применение.

4

34

Основные уравнения математической физики (дополнительные главы)

Классификация уравнений второго

порядка. Приведение к каноническому

виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье

Уравнения первого порядка. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Нелинейные дифференциальные уравнения с n независимыми переменными.

6

6

55

Элементы вариационного исчисления и оптимального управления

Задачи вариационного исчисления. Понятие функционала. Вариация функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Постановка задачи оптимального управления. Формулировка необходимо­го условия оптимального управления в форме принципа макси­мума А. С. Понтрягина Численные методы в задачах вариационного исчисления.

6

6

46

Введение в дискретную математику. Элементы комбинаторного анализа, математической логики, Булевы алгебры, теории графов.

6

6