- •Операции над комплексными числами.
- •2.1. Условие дифференцируемости функции комплексной переменной
- •2.2. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •2.3. Гармонические функции
- •3. Элементарные функции комплексной переменной (кп)
- •3.1. Дробно-линейная функция
- •3. Рассмотрим общее дробно-линейное преобразование
- •3.3. Показательная функция и логарифм
- •4.Разложение функции комплексной переменной в ряды тейлора и лорана
- •4.1. Сходимость и равномерная сходимость
- •4.2. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •4.3. Область сходимости степенного ряда
- •4.4. Ряд Тейлора
- •4.5. Способы разложения функций в ряд Тейлора
- •4.6. Ряд Лорана, разложение функций в ряд Лорана.
- •5. Вычеты и их приложения
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.Разложение функции комплексной переменной в ряды тейлора и лорана
4.1. Сходимость и равномерная сходимость
Исследование рядов с комплексными членами во многом аналогично исследованию рядов с действительными членами. Известно, например, что ряд , где - комплексные числа, сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда; из действительных и мнимых частей. Поэтому исследование ряда с комплексными членами сводится к исследованию пары рядов с действительными членами.
Формулируя критерий Коши для последовательности частичных сумм ряда , получим критерий Коши сходимости ряда: ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое , что неравенство выполняется при любом и любом натуральном p.
Можно сформулировать критерий сходимости ряда, вводя остаток ряда : ряд сходится тогда и только тогда, когда
Примеры. 1. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение:
Ряд из действительных частей и мнимых частей абсолютно сходятся, следовательно, исходный ряд сходится.
В этом примере достаточно сразу исследовать ряд : , ряд сходится, поэтому члены рядов из действительных и мнимых частей мажорируются членами сходящегося ряда из модулей.
2. Исследовать на сходимость ряд .
Здесь абсолютной сходимости нет, но ряды из действительных и мнимых частей сходятся по признаку Лейбница, следовательно ряд сходится.
3. Исследовать на сходимость ряд .
Здесь оба ряда из действительных и мнимых частей расходятся, следовательно, ряд расходится.
Если члены ряда являются функциями комплексной переменной, то имеем функциональный ряд . Если выбрать конкретное значение , то получим числовой ряд , который сходится или расходится. Множество точек z, в которых ряд сходится, составляет область сходимости функционального ряда.
Среди функциональных рядов выделяется класс рядов, близкий по свойствам к числовым рядам - равномерно сходящиеся ряды.
Ряд называется равномерно сходящимся в области D к функции , если для любого найдется такой номер , при котором для любого и любого выполнено . Числовые сходящиеся ряды, очевидно, равномерно сходятся в любой области. Можно сформулировать критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда: ряд равномерно сходится в области D тогда и только тогда, когда для любого существует такое , что неравенство выполняется при любом , любом натуральном p при всех . Критерий равномерной сходимости можно сформулировать, вводя остаток ряда: ряд равномерно сходится в области D тогда и только тогда, когда
.
Если ряд сходится, но не равномерно, то , но ( ) либо не существует, либо не равен нулю. Равномерную сходимость ряда часто легко установить, пользуясь признаком равномерной сходимости Вейерштрасса: пусть дан функциональный ряд , причем числовой ряд сходится. Тогда функциональный ряд сходится равномерно в области D.
Пример: исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Рассмотрим ряд из модулей , применим к нему признак Даламбера:
.
Ряд сходится при . В любой граничной точке z, ряд мажорируется сходящимся рядом поэтому область сходимости ряда. . В этой области ряд сходится равномерно, так как в любой области исходный ряд мажорируется рядом .
Пример: исследовать на сходимость ряд (геометрическая прогрессия).
Решение:
Рассматривая ряд из модулей, применим радикальный признак Коши или признак Даламбера. Оказывается, что ряд сходится при , но расходится при . Так как никогда не стремиться к 0 при , то необходимый признак сходимости ряда не выполнен. Ясно, что сумма ряда , при , остаток ряда
,
поэтому ряд не сходится равномерно в .