- •Операции над комплексными числами.
- •2.1. Условие дифференцируемости функции комплексной переменной
- •2.2. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •2.3. Гармонические функции
- •3. Элементарные функции комплексной переменной (кп)
- •3.1. Дробно-линейная функция
- •3. Рассмотрим общее дробно-линейное преобразование
- •3.3. Показательная функция и логарифм
- •4.Разложение функции комплексной переменной в ряды тейлора и лорана
- •4.1. Сходимость и равномерная сходимость
- •4.2. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •4.3. Область сходимости степенного ряда
- •4.4. Ряд Тейлора
- •4.5. Способы разложения функций в ряд Тейлора
- •4.6. Ряд Лорана, разложение функций в ряд Лорана.
- •5. Вычеты и их приложения
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3. Рассмотрим общее дробно-линейное преобразование
,считая .
ФКП W осуществляет взаимно-однозначное отображение , так как
, .
Нетрудно видеть, что общее дробно-линейное отображение можно получить, последовательно осуществляя линейные отображения и отображение :
. (14)
Из (14) получаем последовательность отображений:
1) ;
2) ;
3) ,
т.е. два линейных отображения и одно типа .
Следовательно, если какое-либо свойство присуще линейному и отображению, то это же свойство будет характерным и для дробно-линейного отображения.
Докажем, что дробно-линейное отображение обладает круговым свойством: окружности, принадлежащие плоскости преобразуются в окружности, принадлежащие плоскости W . При этом прямые считаем окружностями бесконечно большого радиуса.
Убедимся в том, что отображение обладает круговым свойством:
, ,
,
.
Уравнение семейства окружностей на записывается в виде
.
Уравнение образа этого семейства на плоскости W
Рассмотрим на плоскости точку . При отображении . Следовательно, образ каждой прямой или окружности, проходящей в плоскости через точку , содержит точку , т.е. все прямые и окружности, проходящие в плоскости через точку , переходят в прямые на плоскости W. Все прямые и окружности, не проходящие через , в плоскости W являются окружностями, так как ни одна точка их прообразов не перейдет в точку .
Пример: отобразить конформно верхнюю полуплоскость на внутренность круга так, чтобы граница полуплоскости перешла в окружность . Дробно-линейное отображение обладает круговым свойством, поэтому для решения поставленной задачи достаточно так подобрать коэффициенты функции , чтобы установить соответствие между выбранными точками оси ( ) и наперед заданными точками окружности . Пусть , тогда
,
т.е. для задания дробно-линейного отображения достаточно знать три параметра чего необходимо задать соответствие
.
Например, так подберем чтобы
y
v
i
(рис. 6)
x
0
-1
1
u
0
-1
1
-i
Из (16) имеем (k = I, 2, 3). Отсюда для нахождения получим систему трех линейных уравнений:
Отсюда , , .
Таким образом .
3.2. Степенная функция
Изучим некоторые свойства отображения, осуществляемого функцией .
Представим числа z и W в тригонометрической форме:
(17)
По формуле Муавра
(18)
Отсюда видно, что при отображении с помощью степенной функции происходит поворот каждого вектора на угол и растяжение в раз. Легко проверяется следующее утверждение: если две точки и плоскости Z таковы, что , то их образы и равны.
Поэтому для выделения областей плоскости (т.), для точек которых степенная функция осуществляет взаимно-однозначное отображение, необходимо потребовать, чтобы область не содержала точек с аргументами, отличающимися на целое кратное .
Р
x
x
y
Θ
φ
W=zn
u
nφ
nΘ
Такими областями на являются углы (рис. 7)
(к=0, I, ...) (19)
Области, для точек которых данная функция осуществляет взаимно-однозначное отображение, называются областями однолистности данного отображения (функции).
Следовательно, области (19) являются областями однолистности отображения, задаваемого степенной функцией .
Н
y
C
D
γ
W=z2
x
0
1
-1
B
A
v
C’
A’
γ*
Рис. 8.
v
B’
D’
Чтобы для всех точек полуплоскости сохранить условие однолистности отображения, мысленно разрежем плоскость W по полуоси и слегка сместим края разреза (в плоскости W). Получим геометрическое представление о плоскости с разрезом по оси 0u.
Пользуясь этим примером, можно объяснить происхождение термина однолистность: для отображения точек верхней полуплоскости потребовалась целая плоскость w (один лист); для отображения всех точек плоскости z потребуется еще одна плоскость (лист).
Будем говорить, что луч переходит в верхний берег разреза, луч - в нижний берег разреза.
Вообще, если , то каждый из углов плоскости z отображается в плоскость с разрезом, а вся плоскость z отображается в n-листную плоскость w.
Отметим, что изучаемое отображение (n - целое положительное) конформно всюду, кроме точки (см. пример в п.2):
. (20)
Используя методы анализа, можно вывести аналогичную (20) формулу для любого действительного показателя r : ,
(20’)
Функция, обратная к , называется корнем n-й степени и записывается в виде . Число W называется корнем n-й степени из числа z, если .
В алгебре комплексных чисел было выяснено, что корень n-й степени из числа z имеет n различных значений.
Следовательно, функция n-значна: .
Значение определяется значением аргумента, выбранным для точки z (вспомним, что значение аргумента числа z определяется с точностью до ).
Обозначим через одно из значений аргумента точки и предположим, что точка описывает замкнутую кривую С на плоскости Zтак, что начало координат остается вне области D границей которой является С (рис. 9). Через обозначим значения аргументов точек .
L
Z0
c
x
y
W0
Ĺ
v
Ć3
Ć1
Ć2
Рис. 9.
Очевидно, при обходе контура C меняется непрерывно от и при полном обходе контура C принимает прежнее значение, равное .
Следовательно, в плоскости W точка
,
описывая замкнутую кривую ,начиная от точки
,
вернется к своему прежнему значению .
Значения корня, определяемые другим выбором аргумента /например, (к = I, 2,...)/ при полном обходе по кривой С также описывают замкнутые кривые , отличающиеся от C лишь поворотом на .
Теперь рассмотрим кривую внутренность, которой содержит точку (см. на рис. 9 пунктир).
При полном обходе кривой L от точки со значением аргумента соответствующая точка не возвращается в положение , а занимает новое положение,
так как аргумент точки при полном обходе по L получил приращение своему начальному значению , точка вернется лишь при n-кратном обходе кривой L , поскольку в этом случае аргумент точки , получит приращение .
На рис. 9 показан случай n=3.
Отсюда следует, что в любой области , не содержащей ни одной кривой, обходящей точку , можно выделить n непрерывных и однозначных функций, принимающих одно из значений корня .
Эти n функций называются ветвями многозначной функции ; их значения для каждого фиксированного z отличаются друг от друга множителями .
В этом случае каждая из ветвей является непрерывной функцией и осуществляет однолистное (взаимно однозначное) отображение области D. Поэтому каждой точке области D применима теорема о производной обратной функции
Если область в плоскости z содержит хотя бы одну кривую, обходящую точку , то ветви отделить нельзя, они непрерывно переходят одна в другую.
Сравните на рис. 9 кривые .