- •Операции над комплексными числами.
- •2.1. Условие дифференцируемости функции комплексной переменной
- •2.2. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •2.3. Гармонические функции
- •3. Элементарные функции комплексной переменной (кп)
- •3.1. Дробно-линейная функция
- •3. Рассмотрим общее дробно-линейное преобразование
- •3.3. Показательная функция и логарифм
- •4.Разложение функции комплексной переменной в ряды тейлора и лорана
- •4.1. Сходимость и равномерная сходимость
- •4.2. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •4.3. Область сходимости степенного ряда
- •4.4. Ряд Тейлора
- •4.5. Способы разложения функций в ряд Тейлора
- •4.6. Ряд Лорана, разложение функций в ряд Лорана.
- •5. Вычеты и их приложения
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.2. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
Рассмотрим аналитическую в окрестности некоторой точки функцию .
Пусть в плоскости через точку проведены две гладкие кривые , угол между которыми (угол между касательными к этим кривым в точке ) равен (рис. 3).
Рис.3.
W=f(z)
z
τ1
τ2
y
x
Z0
Θ
γ2
γ1
φ
w
v
u
W0
υ
ψ
γ2٭
γ1٭
Пусть параметрические уравнения кривой , Тогда точки плоскости , принадлежащие кривой , соответствуют комплексным числам при .
Так как в точке ( ) кривая гладкая, то , ибо в противном случае , и касательная в точке была бы не определена.
Угловой коэффициент касательной
.
Отсюда
. (4)
В результате отображения, осуществляемого функцией , , - кривая на плоскости .
При этом точки определяются одним параметром и могут быть получены из соотношения
,
причем, когда параметр изменяется от до , точка пробегает всю кривую . Пусть - образ точки : . Аналогично (4) в плоскости .
(5)
По правилу дифференцирования сложной функции
. (6)
Условие (6) выполняется в силу неравенства нулю производной в точке . Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей, поэтому
(7)
Из (4), (5), (7) следует, что
.
Анализируем выражение (8): зависит только от вида функции и выбора точки z0. Следовательно, угол между касательной к любой гладкой кривой и осью в точке есть сумма углов: между касательной и кривой и .
Так как этот результат верен для любой гладкой кривой, то при отображении посредством аналитической функции пучка гладких кривых, проведенных через точкуz0, касательные ко всем отображенным кривым – образом прежних кривых – поворачиваются на один и тот же угол, равный .
Очевидно, углы между кривыми-образами (на плоскостиW) равны углам между соответствующими кривыми-прообразами (на плоскостиZ). Например (см. рис. 3), угол между кривыми и в точке есть . Соответствующие кривые-образы и (на плоскости ) имеют углы с осьюOu:
, угол между и .
.
Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным.
Следовательно, отображение, осуществляемое аналитической функцией, конформно во всех точках, где . Требование неравенства производной нулю существенно, так как аргумент нуля неопределен.
В ыясним геометрический смысл модуля производной . Рассмотрим окрестность точки и соответствующую ей окрестность точки . Расстояния от точек этих окрестностей до их центров –точек и запишутся в виде
, Отношение рассматриваем как коэффициент растяжения (или сжатия), возникающего при отображении. Далее,
.
Так как значение производной не зависит от направления стремления к точке , то окрестность точки растягивается при отображении равномерно, с коэффициентом растяжения, равным для любого направления из точки z0.
Таким образом, при конформном отображении окрестность каждой точки z0 испытывает равномерное растяжение с коэффициентом ,касательные ко всем гладким кривым, проходящим через точку , поворачиваются на один и тот же угол , углы между кривыми сохраняются.