3. Элементарные функции комплексной переменной (кп)

Элементарные функции КП, изучаемые в данном курсе, явля­ется естественным распространением в комплексную область основ­ных элементарных функций действительной переменной x .Одна­ко при таком распространении функции приобретают подчас новые свойства: показательная функция КП оказывается периодической, функции sinx и cosx перестают быть ограниченными по мо­дулю и т.д.

Теория элементарных функций КП была в основном создана Л. Эйлером в его работах сороковых годов ХУШв. Эти работы намного опережали эпоху. Например, теория логарифма была признана с большим трудом и далеко не сразу.

3.1. Дробно-линейная функция

Дробно - линейной функцией называется функция вида

, (9)

где a,b,c,d - некоторые комплексные числа. Считаем, что а и с одновременно в нуль не обращаются.

Рассмотрим последовательность отображений, осуществляемых функцией (9).

1. Числитель выражения (9) есть линейная функция

. (10)

Отображение W₁(z ) - конформно, так как W₁^’= а 0. Отображение осуществляет параллельный перенос всех точек плоскости z на вектор (это следует из геометрического смысла операции сложения комплексных чисел).

Рассмотрим выражение :

, (11)

. (12)

Следовательно, в общем случае линейная функция следующим образом преобразует векторы плоскости z: а) концы всех векторов смещаются на вектор ; б) полученные векторы растягиваются в раз и поворачиваются на угол .

2. Рассмотрим функцию .

Точки А и B (рис. 4) называются симметричными относительно окружности радиуса R,

если А и B лежат на одном луче, проведенном из центра окружности;

произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату радиуса окружности:

. (13)

Из (13) следует, что т.е. точкой, симметричной центру окружности, является .

z

y

x

zz

.

.

z

R

A

B

O

Рис.4.

Покажем, что если центр окруж­ности находится в точке , то симметричной для точки будет точка .

Проверим выполнение условий симметричности:

.

Отсюда следует, что точки и симметричны относи­тельно окружности радиуса . В свою очередь точки и симметричны относительно оси ОХ плоскости как взаимно-сопряженные.

П

y

1

.

z

оэтому отображение состоит из двух симмет­ричных преобразований (рис. 5).

x

γ₁

γ₁*

.

v

u

1

Р Рис. 5

Функция осуществляет взаимно однозначное отображение полной плоскости на плоскость W₂ причем , ; при этом внутренность круга единичного радиуса переходит в его внешность на плоскости W₂ , окружность единичного радиуса переходит в такую же окружность (см. рис. 5). Докажите, что сказанное выше верно только для круга единичного радиуса.

В точках производная определена так: (о вычислении производной степенной функции см. 3.2), т.е. осуществляет конформное отображение.