5.1. Основные формулы

5.1.1. Квантовая природа излучения

1. Энергетическая светимость абсолютно черного R_э* и серого R_э тела

, R_э = ^.R*,

где r*_T – испускательная способность абсолютно черного тела;  - коэффициент теплового излучения.

2. Законы излучения абсолютно черного тела

R_э* = ^.T⁴,  = 5,67^.10^-8 Вт/м^2.К⁴;

_m^.T = b, b = 2,9^.10^-3 м^.К;

(r*_T)_max = c^.T⁵, c = 1,3^.10^-5 Вт/м^3.К⁵.

3. Энергия, массса и импульс фотона

 = h^. = ^.;

m = h^./c² = h/c^.;

p = m^.c = h/.

4. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

h^. = A_вых + m^.V²_max/2.

5. Давление света

p = ^.(1 + ),

где  = nh - объемная плотность энергии,

n – концентрация фотонов.

6. Эффект Комптона

 = _K^.(1 - cos),

где _K = h/m₀^.c – комптоновская длина волны;

 - угол рассеяния фотона.

5.1.2. Элементы квантовой механики

1. Формула де Бройля

 = h/m^.V.

2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

x^.p_x  h

E^.t  h.

3. Уравнение Шредингера

общий вид –

для стационарных состояний ,

где  - оператор Лапласа; E – полная энергия частицы;

U – потенциальная энергия частицы;  - волновая функция.

Вероятность обнаружить частицу в объеме dV

dp = ^{2 .} dV .

Условие нормировки волновой функции

.

4. Волновая функция, описывающая движение свободной частицы

(x,t) = A ^. e ^{–i(Et – px)/h} .

5. Собственные значения энергии и собственные волновые функции для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме

,

где d – ширина потенциальной ямы.

6. Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера

,

где d – ширина барьера, E – энергия частицы.

5.2. Задачи для контрольных заданий

501. При переходе от температуры T₁ к температуре Т₂ площадь под кривой r_Т() увеличилась в n раз. Как изменилась при этом длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности r?

502. В излучении абсолютно черного тела максимум энергии падает на длину волны 680 нм. Сколько энергии излучает 1 см² этого тела за 1 с и какова потеря его массы за 1 с вследствие излучения?

503. Абсолютно черное тело имеет температуру Т₁ = 2900 К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на 9 мкм. До какой температуры Т₂ охладилось тело?

504. Принимая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело и температура его поверхности равна 5800 К, вычислить:

а) энергию, излучаемую с 1 м² поверхности Солнца за время t = 1 мин;

б) массу, теряемую Солнцем вследствие лучеиспускания за время t = 1 с.

505. Волосок лампы накаливания, рассчитанной на напряжение 2 В, имеет длину 10 см и диаметр 0.03 мм. Полагая, что волосок излучает как абсолютно черное тело, определите температуру нити и длину волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения. Вследствие теплопроводности лампа рассеивает 8 % потребляемой мощности, удельное сопротивление материала волоска 5.5^.10^-8 Ом^.м.

506. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке d = 0,3 мм, длина спирали 5 см. При включении лампочки в сеть напряжением U = 127 В через лампочку течет ток 0,31 А. Найти температуру спирали. Считать, что при установлении равновесия все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетических светимостей вольфрама и абсолютно черного тела для данной температуры к = 0,31.

507. На сколько градусов понизилась бы температура земного шара за столетие, если бы на Землю не поступала солнечная энергия? Радиус Земли принять равным 6.4^.10⁶ м, удельную теплоемкость принять равной 200 Дж/(кг^.К), плотность 5500 кг/м³, среднюю температуру 300 К. Коэффициент поглощения 0,8. За какое время температура понизилась бы на 27 К?

508. Какую мощность надо подводить к зачерненному металлическому шарику радиусом 2 см, чтобы поддерживать его температуру на 27 К выше окружающей среды? Температура окружающей среды Т = 293 К. Считать, что тепло теряется только вследствие излучения.

509. В электрической лампе вольфрамовый волосок диаметром d = 0,05 мм накаливается при работе лампы до Т₁ = 2700 К. Через сколько времени после выключения тока температура волоска упадет до Т₂ = 600 К? При расчете принять, что волосок излучает, как серое тело, с коэффициентом поглощения 0,3. Пренебречь всеми другими причинами потери теплоты.



510. Металлический шарик диаметром d поместили в откачанный сосуд с абсолютно черными стенками, поддерживаемыми при температуре Т = 0 К. Начальная температура шарика T₀. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти температуру, которую будет иметь шарик спустя время t. Плотность вещества шарика , удельная теплоемкость с.

511. Исходя из формулы r_v,T = dR_э/d, R_э = d и r_,T = dR_э / d найти соотношение между величинами r_v,т и r_,т, характеризующими спектральную плотность энергетической светимости тела. Записать формулу Планка для r_,T.

512. Определить с помощью формулы Планка энергетическую светимость абсолютно черного тела, приходящуюся на узкий интервал для длин волн  =10Å, соответствующий максимальной спектральной плотности энергетической светимости при температуре Т = 3000 К.

513. Какую задерживающую разность потенциалов нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить эмиссию электронов, испускаемых под действием лучей с длиной волны  = 260 нм с поверхности алюминия, если работа выхода А = 3,74 эВ?

514. Красной границе фотоэффекта для никеля соответствует длина волны, равная 248 нм. Найти длину световой волны, при которой величина задерживающего напряжения равна 1,2 В.

515. Фотоны с энергией Е = 4.9 эВ вырывают электроны из металла. Найти максимальный импульс, передаваемый поверхности металла при вылете каждого электрона.

516. На металл падают рентгеновские лучи с длиной волны, равной 4 нм. Пренебрегая работой выхода, определить максимальную скорость фотоэлектронов.

517. По представленной зависимости задерживающего напряжения U₃ от частоты  падающего света определить:

а) длину волны красной границы фотоэффекта ;

б) работу выхода электрона из металла.

518. Уединенный железный шарик облучают электромагнитным излучением с длиной волны 200 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик?

519. Как повлияет на вид вольт-амперной характеристики фотоэлемента: а) увеличение в 2 раза полного светового потока при неизменном спектральном составе волн;

б) уменьшение частоты монохроматического света при неизменном потоке фотонов;

в) увеличение частоты монохроматического света при неизменном потоке фотонов;

г) увеличение в 2 раза частоты монохроматического света при неизменном световом потоке?

520. При поочередном освещении поверхности металла светом с длинами волн 0,35 и 0,54 мкм обнаружено, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в n = 2 раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.

521. При освещении катода вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом с длиной волны  = 310 нм фототок прекращается при некотором задерживающем напряжении. При увеличении длины волны на 25 % задерживающее напряжение оказывается меньше на 0,8 В. Определить по этим экспериментальным данным постоянную Планка.

522. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра:

1. ультрафиолетовыми лучами с длиной волны ₁ = 0,155 мкм.

2. –лучами с длиной волны ₂ = 0,0247 Å.

523. Монохроматическое излучение с длиной волны, равной 500 нм, падает нормально на плоскую зеркальную поверхность и давит на нее с силой 10 нН. Определите число фотонов, ежесекундно падающих на эту поверхность.

524. Точечный источник света потребляет 100 Вт и равномерно испускает свет во все стороны. Длина волны испускаемого при этом света 589 нм. КПД источника 0,1 %. Вычислить число фотонов, выбрасываемых источником за 1 с.

525. Импульс лазерного излучения длительностью 0,13 с и энергией Е = 10 Дж сфокусирован в пятно диаметром d = 10 мкм на поверхность с коэффициентом отражения р = 0,5. Найти среднее давление такого пучка света.

526. Параллельный пучок монохроматических лучей с длиной волны 0,5 мкм падает нормально на зачерненную поверхность и производит давление 10^-5 Па. Определить концентрацию электронов в потоке и его интенсивность, т.е. число частиц, падающих на единичную поверхность в единицу времени.

527. Пучок энергии, излучаемый электрической лампой, равен 600 Вт. На расстоянии R = 1 м от лампы перпендикулярно к падающим лучам расположено круглое плоское зеркало диаметром d = 2 см. Принимая, что зеркало полностью отражает падающий на него свет, определить силу F светового давления на зеркальце.

528. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 662 нм падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление Р = 0,3 мкПа. Определить концентрацию n фотонов в световом пучке.

529. Свет с длиной волны 700 нм нормально падает на зеркальную поверхность и производит на нее давление р = 0,1 мкПа. Определить число фотонов n, падающих за время t = 1 с на площадь 1 см² этой поверхности.

530. Определить энергию, массу и импульс фотона, соответствующего рентгеновскому излучению с длиной волны  = 0,001 мкм.

531. Какую длину волны должен иметь фотон, чтобы его масса была равна массе покоящегося электрона?

532. Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии равно 2,4 пм. Вычислить угол рассеяния и величину энергии, переданной при этом электрону отдачи, если длина волны рентгеновских лучей до взаимодействия 10 пм.

533. Какая доля энергии фотона приходится при эффекте Комптона на электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол 180°. Энергия фотона до рассеяния равна 0,255 МэВ.

534. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длины волн излучения, рассеянного под углами, равными 60° и 120°, отличаются друг от друга в n = 2 раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения.

535. Фотон с длиной волны, равной 6,0 пм, рассеялся под прямым углом на покоившемся свободно электроне. Найти частоту рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.

536. Фотон с энергией 0,46 МэВ рассеялся под углом 120° на покоившемся свободном электроне. Определить относительное изменение частоты фотона.

537. Определить угол под которым был рассеян гамма-квант с энергией Е = 1,02 МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи Т = 0,51 МэВ.

538. Найти энергию налетающего фотона, если известно, что при рассеянии под углом 90° на покоившемся свободном электроне последний приобрел энергию 300 кэВ.

539. Фотон с энергией, превышающей в n = 2 раза энергию покоя электрона, испытал лобовое столкновение с покоившемся свободным электроном. Найти радиус кривизны траектории электрона отдачи в магнитном поле В = 0,12 Тл. Предполагается, что электрон отдачи движется перпендикулярно к направлению поля.

540. Фотон с энергией Е = 0,15 МэВ рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате чего его длина волны изменилась на 3,0 пм. Найти угол, под которым вылетел комптоновский электрон.

541. Угол рассеяния фотона 90°. Угол отдачи электрона  = 30°. Определить энергию падающего фотона.

542. На какой угол рассеялся гамма-квант с энергией 0.8 МэВ в результате столкновения с покоившемся электроном, если известно, что:

а) длина волны рассеянного кванта равна комптоновской длине волны электрона;

б) скорость электрона отдачи составляет 0,6 с?

543. Какую энергию необходимо сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 пм?

544. При увеличении энергии электрона на Е = 200 эВ его дебройлевская длина волны изменилась в n = 2 раза. Найти первоначальную длину волны электрона.

545. Найти кинетическую энергию, при которой дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновой длине волны?

546. Электрон движется по окружности радиусом r = 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией В = 8 мТл. Определить длину волны де Бройля электрона .

547. Какую дополнительную энергию необходимо сообщить электрону с импульсом 15,0 кэВ/с (с - скорость света), чтобы его длина волны стала равной 50 пм?

548. Скорость так называемых тепловых нейтронов, средняя кинетическая энергия которых близка к средней энергии атомов газа при комнатной температуре, равна 2,5 км/с. Найти длину волны де Бройля для таких нейтронов.

549. В телевизионной трубке проекционного типа электроны разгоняются до большой скорости V. Определить длину волны катодных лучей без учета и с учетом зависимости массы от скорости, если V = 10⁶ м/с.

550. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося со скоростью, равной 0,8 скорости света. Учесть зависимость массы от скорости.

551. Пучок электронов падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол 55° с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при скорости электронов V = 8^.10⁶ м/с. Пренебрегая преломлением электронных волн в кристалле, вычислите межплоскостное расстояние, соответствующее данному отражению.

552. Пучок летящих параллельно друг другу электронов, имеющих скорость v = 1,0^.10⁶ м/с, проходит через щель шириной b = 0,1 мм. Найти ширину х центрального дифракционного максимума, наблюдаемого на экране, отстоящем от щели на расстояние I = 10,0 см.

553. Найти кинетическую энергию электронов, падающих нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, если на экране, отстоящем от диафрагмы на I = 75 см, расстояние между соседними максимумами х = 7,5 мкм. Расстояние между щелями d = 25 мкм.

554. Узкий пучок летящих параллельно друг другу электронов, имеющих скорость v, проходит через поликристаллическую никелевую фольгу и попадает на расположенный за ней на расстояние L = 10 см экран. Найти радиусы двух первых дифракционных колец, получающихся на экране за счет отражения электронов от кристаллических плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d = 0,215 нм, при v = 1,0^.10⁷ м/с.

555. Электрон с кинетической энергией Т = 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d = 1 мкм. Оценить относительную неточность , с которой может быть определена скорость электрона.

556. Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше неопределенности ее координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1 %?

557. Предполагая , что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточность р/р импульса этой частицы.

558. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: a) в основном состоянии; б) в возбужденном. Время жизни атома в возбужденном состоянии равно 10^-8 с.

559. Оценить наименьшие погрешности, с которыми можно определить скорость электрона и протона, локализованных в области размером 1 мкм.

560. Оценить неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома 1 нм. Сравнить полученное значение со скоростью электрона на первой боровской орбите.

561. Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра.

562. Используя соотношение неопределенностей, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l  0,1 нм.

563. Частица массой m находится в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна l. При каких значениях кинетической энергии Т относительная неопределенность Т/Т будет меньше 0,01?

564. Электрон с кинетической энергией Т = 10 эВ локализован в области размером L = 1,0 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости электрона.

565. Чему равна предельная резкость спектральной линии с длиной волны  = 5000 Å, допускаемая принципом неопределенностей, если считать, что средняя продолжительность возбужденного состояния атомов t = 10^-8 с.

566. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна . Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления электрона на стенки этой ямы, при минимально возможной его энергии.

567. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид ih ^. (d/dt) = E. Hайти решение уравнения.

568. Электрону в потенциальном ящике шириной L отвечает волновой вектор к = n/L (где n=1,2,3…). Используя связь энергии электрона Е с волновым вектором к, получить выражение для собственных значений энергии Е_n.

569. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид x) = C sin(nx/L). Используя условие нормировки, определить постоянную С.

570. Электрон находится в потенциальном ящике шириной  = 5 Å. Определить наименьшую разность Е энергетических уровней электрона.

571. Вычислить энергию, которая необходима, чтобы перевести частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной L = 1Å с первого энергетического уровня на второй. Задачу решить для электрона и частицы с массой 10 г.

572. Какого размера должна быть одномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками, чтобы локализованная в ней частица имела на самом глубоком уровне энергию Е = 1 эВ. Задачу решить для электрона и протона.

573. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти ширину ямы, если разность энергии между уровнями с n₁ = 2 и n₂ = 3 составляет Е = 0,3 эВ.

574. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти массу частицы, если ширина ямы l и разность энергий энергетических уровней n₁ и n₂ равна Е.

575. Частица массой m находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно _m. Найти ширину ямы и энергию частицы в данном состоянии.

576. Частица в потенциальном ящике шириной  находится в возбужденном состоянии (n = 2). Определить, в каких точках интервала (0<x<1) плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения.

577. Электрон находится в потенциальном ящике шириной . В каких точках интервала (0<x<1) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить значение плотности вероятности для этих точек.

578. В потенциальной яме бесконечной глубины движется электрон. Во сколько раз изменится минимальное значение кинетической энергии электрона, если ширина потенциальной ямы уменьшится вдвое?

579. Электрон с энергией Е = 25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 9 эВ. Определить коэффициент преломления волн де Бройля на границе барьера.

580. Электрон обладает энергией Е = 10 эВ. Определить, во сколько раз изменяется его скорость V и длина волны де Бройля при прохождении через потенциальный барьер высотой U = 6 эВ.

581. На пути электрона с дебройлевской длиной волны ₁ = 0,1 нм находится потенциальный барьер высотой U = 120 эВ. Определить длину волны де Бройля ₂ после прохождения барьера.

U

U(x)

E

582. Определить коэффициент преломления n волн

д е Бройля для протонов на границе потенциальной ступеньки ( на рис. 5.2. ). Кинетическая энергия Т протонов равна 16 эВ, а высота U потенциальной ступеньки равна 9 эВ.

583. Пучок электронов с энергией Е = 25,0 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 9,0 эВ. Определить коэффициент отражения R и коэффициент пропускания D волн де Бройля для данного барьера.

584. Моноэнергетический поток электронов (Е = 100 эВ) падает на низкий прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширины. Определить высоту потенциального барьера U, если известно, что 4 % падающих на барьер электронов отражается.

585. Кинетическая энергия Т электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения R и коэффициент прохождения D электронов на границе барьера.

586. Частица массой m падает слева на прямоугольный потенциальный барьер высотой U. Энергия частицы равна E, причем E<U. Найти эффективную глубину x_эф проникновения частицы под барьер, то есть расстояние от границы барьера до точки, в которой плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в e раз. Вычислить х_эф для электрона, если U-E =1 эВ.

587. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d = 0,5 нм. Высота U барьера больше энергии Е электрона на 1 %. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона Е = 10 эВ.

588. Ширина L прямоугольного потенциального барьера равна 0.2 нм. Разность энергий U-E = 1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в 10 раз.

589. Электрон с энергией Е = 9 эВ движется в положительном направлении оси х. При какой ширине потенциального барьера коэффициент прозрачности D = 0,1, если высота барьера равна U = 10 эВ?

590. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d = 0,1 нм. При какой разности энергий E-U вероятность прохождения электрона через барьер равна 0,99?

5.3 Варианты контрольных заданий.

1. Контрольная работа по теме “Квантовая природа излучения.”

Таблица 5.1

Варианты	Номера задач
1	503, 520, 523, 532
2	507, 522, 525, 533
3	502, 516, 527, 540
4	506, 518, 539, 541
5	510, 513, 524, 531
6	501, 515, 528, 535
7	505, 521, 526, 534
8	509, 514, 530, 536
9	504, 517, 538, 542
10	508, 519, 529, 537

2. Контрольная работа по теме “Элементы квантовой механики.”

Таблица 5.2

Варианты	Номера задач
1	543, 552, 563, 573, 587
2	545, 554, 568, 574, 586
3	547, 556, 564, 575, 585
4	549, 558, 569, 576, 584
5	551, 560, 565, 577, 583
6	544, 562, 570, 578, 588
7	546, 553, 566, 579, 589
8	548, 555, 571, 580, 590
9	550, 557, 567, 581, 587
10	543, 559, 572, 582, 589

3. Итоговая контрольная работа по разделу “ Квантовая природа излучения. Элементы квантовой механики.”

Таблица 5.3

Варианты	Номера задач
1	501, 513, 524, 558, 570
2	503, 515, 526, 561, 572
3	505, 520, 528, 557, 573
4	507, 521, 532, 555, 576
5	509, 522, 534, 553, 578
6	502, 514, 533, 550, 582
7	504, 516, 536, 545, 583
8	506, 517, 540, 544, 585
9	508, 518, 542, 562, 589
10	510, 519, 541, 560, 586

6. Физика атомов. Квантовая статистика и физика твердого тела. Физика ядра.