Точность и надежность модели простой линейной регрессии

Для оценки точности и надежности модели (6.3) используется несколько критериев (называемых статистиками или статистическими характеристиками).

1. Коэффициент корреляции - используется для оценки тесноты связи между показателями X и Y:

(6.9)

Известно, что При этом, чем ближе к 1, тем сильнее статистическая связь между X и Y, если r_xy=0, то связь между X и Y отсутствует. Если r_xy > 0, то имеется положительная корреляция, т.е. при возрастании X статистически возрастает Y; если r_xy < 0, то имеется отрицательная - при возрастании X показатель Y статистически убывает.

Считается, что если |r_xy|>0,7 то связь между показателями X и Y высокая и можно строить простую регрессию, если r_xy<0,5 то связь между показателями слабая и вместо X необходимо выбрать другой фактор для построения простой регрессии показателя Y, или увеличить количество наблюдений.

2. Значимость (надежность) вычисленного значения r_xy определяется с помощью t-критерия Стьюдента. По наблюдаемым значениям вычисляется t- статистика:

(6.10)

Вычисленное значение t_набл сравнивается с критическим (табличным) значением t-критерия Стьюдента t_кp = t_maбл (а, n-2) при уровне значимости а=0,05 (или 0,01) (тогда уровни доверительной вероятности p=1-а равны 0,95 или 0,99) и числе степеней свободы (n-2), n - количество наблюдений.

Если t_набл>t_кр то полученное значение r_xy считается значимым и принимается гипотеза о наличии статистической связи между показателями, иначе принимается гипотеза об отсутствии связи между показателями и надо выбрать другой показатель X. Обычно при а = 0,3 принимают t_кр=1,05 (70%-ная доверительная вероятность); при а = 0,05 t_кр= 1,96 (95%-ная доверительная вероятность); при а = 0,01 t_кр=2,65 (99%-ная доверительная вероятность).

3. Коэффициент детерминации R² (R-квадрат) служит для оценки степени соответствия модели фактическим данным.

(6.11)

Величина называется вариацией регрессии, а - вариацией наблюдений относительно среднего.

Здесь имеет место неравенство 0<R²<1. Коэффициент детерминации R² показывает, какую часть фактической вариации переменной Y составляет вариация регрессии. Если R²=0,85, то модель объясняет наблюдаемые значения переменных на 85%.

Чем ближе R² к 1, тем точнее модель линейной регрессии; если R²>0,8 то модель линейной регрессии считается точной; если R²<0,5, то модель является неудовлетворительной, надо строить нелинейную регрессию или выбирать другой фактор X.

4. Вычислить стандартную ошибку регрессии:

(6.12)

4. Проверка значимости простой линейной регрессии осуществляется по F-критерию Фишера. По наблюдаемым значениям вычисляется F-статистика:

(6.13)

Если вычисленное значение F_набл больше табличного F_таб при заданном уровне значимости 0,05 (или уровне доверительной вероятности 0,95) и числе степеней свободы (n-2), то принимается гипотеза о наличии линейной регрессии между показателями X и Y, иначе эта гипотеза отвергается и необходимо строить нелинейную регрессию или выбирать другой фактор X.

6. При уровне значимости α определяются доверительные интервалы коэффициентов регрессии по формулам:

(6.14)

Стандартные ошибки коэффициентов определяются формулами:

(6.15)

7. Доверительный интервал для прогнозных значений X^*_t регрессии определяется по формуле:

(6.16)

где (6.17)

Здесь t(a, n-2) - табличное значение критерия Стьюдента при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы (n-2). Формулы (6.16) и (6.17) применяются для прогнозных значений X и Y.