6. Решение систем уравнений с прямоугольной матрицей методом
Жордана-Гаусса
Метод Жордана-Гаусса применяется для решения систем уравнений вида:
(1.1)
Или в матричном виде:
А*Х=В
где,
(1.2)
,
При этом считается, что количество неизвестных больше количества уравнений, т. е. n>m. Общее решение системы (1.1) зависит от некоторых (n-m) свободных переменных вектора Х.
Общее решение системы уравнений находится следующим образом: среди столбцов матрицы А находятся такие, которые образуют квадратную матрицу А] с ненулевым определителем. Тогда систему (1.2) можно записать в виде:
(1.3)
откуда
(1.4)
где
-
квадратная подматрица матрицы А
с
ненулевым определителем; А2
-
дополнение матрицы
в
матрице А;
-
вектор переменных Х
соответствующих
столбцам матрицы
;
Х2
-
вектор переменных Х
соответствующих
столбцам матрицы А2.
Переменные называются основными или базисными, а переменные Х2 - свободными. Любое частное решение получается из общего путем придания конкретных значений свободным переменным.
Для получения общего решения c помощью Excel надо найти с помощью функции МОПР квадратную подматрицу матрицы А, имеющую ненулевой определитель, затем с помощью функции МОБР найти обратную матрицу для матрицы , и с помощью функции МУМНОЖ провести вычисления согласно формуле (1.4).
Без использования компьютера для приведения системы (1.2) к виду (1.4) применяют преобразования Гаусса:
Формируют расширенную матрицу В добавлением к матрице коэффициентов системы А справа от вектора правой части системы уравнений.
Умножают (делят) любую строку матрицы В на ненулевое число.
Прибавляют (вычитают) из любой строки другую строку, умноженную на ненулевое число.
Вычеркивают нулевую строку матрицы В.
Если в результате преобразования получится строка, в которой только элемент правой части не будет равен нулю, а остальные элементы строки - нули, то система уравнений не имеет решения.
Целью преобразований является получение матрицы В, у которой будут единичными столбцы, отвечающие базисным переменным.
Пример 4. Решить систему уравнений:
(1.5)
Или в матричном виде:
(1.6)
Матрица А системы уравнений (1.5) равна
.
С помощью функции МОПР находим, что подматрица А], образованная столбцами 1,2 и 3, имеет ненулевой определитель, равный -1. Таким образом:
,
Тогда систему уравнений (1.6) можно записать в виде:
(1.7)
Откуда находим решение:
(1.8)
С помощью функции МОБР находим обратную матрицу к матрице А1, а с помощью функции МУМНОЖ находим общее решение системы уравнений (1.5) согласно выражению (1.8).
Вычисления представлены в таблице Excel.
Рис. 6. Решение системы уравнений (1.5) с прямоугольной матрицей с помощью функции МОБР и МУМНОЖ
Таким образом, общее решение системы уравнение (1.5) имеет вид:
(1.9)
Переменные X1, X2, X3 являются основными или базисными, переменные Х4, Х5 являются свободными. Любое частное решение получается из общего путем придания конкретных значений свободным переменным. Если положить Х4 = Х5 = 0, то получим базисное решение Х1 = 1, Х2 = 3, Х3 = 2, Х4 = 0, Х5 = 0.
Система уравнений (1.5), (1.6) может быть решена и преобразованиями Гаусса. Для этого надо воспользоваться арифметическими операциями над диапазонами. Выделим диапазон результата, в него введем формулу операции над диапазонами аргументов,
для получения результата в виде массива ввод завершается нажатием комбинации клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.
На рис. 7 показана последовательность преобразований Гаусса над матрицей системы уравнений (1.6).
Рис. 7. Решение системы уравнений преобразованиями Гаусса
В результате получается решение системы (1.5) в виде (1.9).
Метод Гаусса является общим методом решения систем уравнений с прямоугольной матрицей. Он позволяет установить неразрешимость системы уравнений и решить систему уравнений, в которой количество уравнений больше количества неизвестных.