2.4.3.2. Теоретический напор рабочего колеса на основании уравнения Бернулли

Величину H_т можно найти и другим способом, например, с помощью уравнения Бернулли, рассматривая напор как разность между удельными энергиями, которы­ми обладает жидкость, прошедшая колесо, и на его входе. В основу вывода основного уравнения лопастных ма­шин положим струйную теорию. Согласно этой теории рабочее колесо имеет число лопаток бесконечно большим. При этом считают, что лопатки расположены параллельно друг другу и поток жидкости в каждом межлопаточном пространстве состоит из бесконечно большого количества элементарных струек, движущихся параллельно друг дру­гу, и образованных линиями тока осредненных скорос­тей относительного движения.

При этом элементарные струйки участвуют в пере­носном (вращательном) движении вместе с колесом вок­руг неподвижной горизонтальной оси 0 (z), совпадаю­щей с осью вала (рис. 15).

Выделим элементарную струйку AB и воспользуемся уравнением Бернулли, обозначая входное сечение I-I и выходное II-II. За плоскость сравнения принимаем плос­кость О-О. Рабочее колесо насоса вращается с угловой скоростью w. В этом случае теоретический напор H_т, создаваемый насосом согласно уравнению Бернулли, мож­но рассматривать как разность между удельной энерги­ей, которой обладает жидкость, прошедшая через насос е_к, и удельной энергией жидкости перед насосом е_н:

, (2.60)

, (2.61)

(2.62)

Пренебрегая разностью геометрических высот частиц жидкости, находящихся на выходе из рабочего колеса z₂ и при входе в него Z_l т.е. Z₂ - Z_l  0, что практичес­ки вполне допустимо, ибо разность мала сравнительно с разностью давлений Р₂-P₁ общее выражение теорети­ческого напора при бесконечно большом числе лопаток рабочего колеса и без учета потерь напора (идеальная жидкость) может быть представлена в виде:

(2.63)

где - удельная потенциальная энергия давления жидкости, м;

- удельная кинетическая энергия жидкости, м.

Составим уравнение баланса энергии элементарной струйки AB (рис. 15) при ее относительном перемеще­нии через рабочее колесо, предполагая, что рабочее ко­лесо неподвижно, а струйки жидкости, в том числе струйка АВ, обтекают лопатки рабочего колеса с отно­сительной скоростью W.

Пренебрегая разностью геометрических высот частиц жидкости, Z₂ - Z_l  0, находящихся в точках А и В, а также гидравлическими сопротивлениями внутри рабо­чего колеса, представим уравнение баланса энергии для рассматриваемой струйки АВ в виде:

. (2.64)

Однако реальное рабочее колесо вращается с постоян­ной угловой скоростью w, причем на пути АВ одна единица веса жидкости получает извне за счет работы центробеж­ной силы F_ц.с. дополнительную удельную энергию е_ц.с. , кото­рая не учтена в уравнении (2.64). Поэтому, чтобы сохра­нить равенство в уравнении (2.64), необходимо или вычесть из правой части, или прибавить в левую часть приращение энергии от действия центробежных сил; тогда получим:

(2.65)

Удельную энергию е_ц.с., обусловленную работой цент­робежных сил, можно найти из следующих соображений. Центробежная сила F_ц.с. для какого-либо промежуточ­ного объема жидкости, обладающего единицей веса и на­ходящегося от оси вращения на расстоянии r, равна:

F_ц.с. = m  U² / r = 1/g  w²  r² / r = w²  r/g , (2.66)

где m = l/g - масса (для единицы веса), кг;

U = wr - переносная (окружная) скорость, м/с;

w - угловая скорость, с^-1;

r - радиус размещения частицы, м.

Работа центробежных сил при перемещении 1 кг жидкости на бесконечно малом пути может быть опре­делена как:

de_ц.с. = F_ц.с.  dr = w²  r/g  dr (2.67)

Следовательно, искомая величина удельной энергии е_ц.с., приобретенной в рабочем колесе одним кг жидкости вследствие воздействия на нее центробежной силы F_ц.с. на пути перемещения от r_l до r₂, определяется интегралом:

,

или

, (2.68)

где ,

Зная е_ц.с., уравнение баланса энергии (2.65) можем за­писать в таком виде:

,

или

(2.69)

С учетом уравнения (2.69) общее выражение тео­ретического напора H_т (2.63), создаваемого рабо­чим колесом центробежного насоса, представим в за­висимости от окружных U, относительных W и абсолютных С скоростей:

. (2.70)

Из параллелограммов скоростей на входе в рабочее колесо и выходе из него (рис. 16) по теореме косинусов получим значение относительных скоростей W₁ и W₂ в следующем виде:

W₁² = U₁² + C₁² – 2U₁C₁cos₁ (2.71)

W₂² = U₂² + C₂² – 2U₂C₂cos₂ (2.72)

Подставив в выражение (2.70) значения W_l и W₂ и вы­полнив простейшие преобразования, получим то же окон­чательное выражение для центробежного насоса, что и при использовании уравнения Эйлера в п. 2.4.3.1, т.е.:

H_т = 1/g  (U₂C₂cos₂ - U₁C₁cos₁). (2.57)