2. Несобственный интеграл II рода.
Пусть
функция f(x)
определена на [a; b)
и
(или = – ).
Несобственный интеграл второго рода
функции f(x)
на [a; b
определяется равенством
.
Если
существует конечный предел в этом
равенстве, то говорят, что интеграл
сходится, в противном случае – расходится.
Аналогично
определяется несобственный интеграл
II рода для случаев
и
.
Если же f(x)
неограниченна в любой окрестности
некоторой внутренней точки
,
то полагают
.
Пример 26. Вычислить интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение. а) Рассматривается несобственный интеграл 2-го рода, так как подынтегральная функция терпит разрыв на правом конце промежутка интегрирования. На основании определения
если этот предел
конечен. Имеем:
б)
.
в)
,
значит, интеграл расходится.
Формулировки признаков сходимости для несобственных интегралов II рода по существу ничем не отличаются от формулировок признаков сходимости для несобственных интегралов I рода. Для применения этих признаков полезно пользоваться тем, что
,
Пример 27. Исследовать на сходимость интегралы:
а)
;
б)
; в)
.
Решение.
а)
.
Подынтегральная функция
в промежутке [2; 3] имеет особую точку x
= 2. Множитель
стремится к 1/2 при
.
Поэтому естественно ожидать, что наша
функция в окрестности точки x
= 2 ведёт себя как
;
проверим это:
.
Следовательно,
согласно второму признаку сходимости,
интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Но второй интеграл сходится (p
= 1/2 < 1), поэтому сходится и наш
интеграл.
б)
Функция
имеет на промежутке [0; 1] одну особую
точку x = 0. Функции
и
являются бесконечно малыми величинами
при
.
Известно, что
,
x2 при
.
Поэтому
при
.
А так как
расходится (p = 3/2 > 1 ), то
расходится и наш интеграл.
в)
Разложим знаменатель (
) подынтегральной функции
по формуле Тейлора в окрестности особой
точки
функции
.
.
Следовательно,
.
Известно,
что
сходится, следовательно, сходится и
наш интеграл.
IV. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Вычисление площадей плоских фигур
Площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
графиками функций x
= a, x
= b, y
= 0, y = f(x)
( f(x)
0 при
x
[a; b]),
находится по формуле
.
Рис.1.
Если фигура (D)
ограничена графиками функций x
= a, x
= b, y
= f(x),
y = g(x),
f(x)
g(x),
при x
[a; b],
то площадь S фигуры (D)
находится по формуле
.
Рис.2.
Для определения площадей фигур, ограниченных сверху и снизу заданными кривыми f(x) и g(x), прежде чем применять формулу для нахождения площади часто бывает необходимо определить пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения кривых f(x) и g(x). Они находятся как решения уравнения f(x) = g(x). Если корни этого уравнения (в порядке возрастания) х1 и х2, то х1 – нижний предел интегрирования, а х2 – верхний предел.
Пример 28. Найти площадь S фигуры (D), ограниченной линиями y = –x2 + 2x + 2 и y = 2x + 1.
Решение. Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций, для чего решим уравнение: –x2 + 2x + 2 = 2x + 1; x2 – 1 = 0; x1 = –1, x2 = 1. Для всех точек x из отрезка [-1; 1] –x2 + 2x + 2 2x + 1. Поэтому
.
Рис.3.
Пример 29.
Найти площадь фигуры, ограниченной
эллипсом
.
Рис.4.
Решение.
Эллипс имеет две оси симметрии:
координатные оси 0х и 0у. Поэтому площадь
S фигуры равна
учетверённой площади S1
части (D1) фигуры,
расположенной в первой четверти
(заштриховано). Фигура (D1)
ограничена сверху линией
, снизу – осью 0х, слева – осью 0у.
Поэтому
Отсюда находим S = 4S1 = ab.
Площадь S
криволинейного сектора, ограниченного
графиком функции
и лучами
и
в полярной системе координат, находится
по формуле
.
Рис.5.
Пример
30. Найти площадь S
фигуры, ограниченной линией, заданной
в полярной системе координат уравнением
.
Решение.
Начнём с изображения линии. Так как
,
то нам нужно сначала решить неравенство
.
Имеем
,
,
.
При
n = 0:
;
при
n = 1:
;
при
n = 2:
;
Рис. 6.
при
n = 3:
– этот угол является повторением угла,
соответствующего значению n
= 0. Рассмотрение других значений приводит
к уже полученным углам на плоскости.
Рассмотрим рисунок. Наша фигура ограничена
тремя лепестками. Её площадь S
равна 3S1, где S1
– площадь одного лепестка (заштриховано).
Имеем
.
Отсюда находим S = 3S1, = .