5. Интегрирование рациональных дробей

Если рациональная дробь является неправильной, то есть т ≥ п, то ее можно представить в виде суммы

где М_т-п и R_r – многочлены степеней т-п ≥ 0 и r, причем r < n. Разложение правильной дроби в сумму простейших имеет вид:

= =

При этом каждая из простейших дробей, стоящих в правой части равенства, интегрируется в квадратурах.

Таким образом, для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо в случае, если она является неправильной, выделить целую часть, затем разложить знаменатель оставшейся правильной дроби на множители степени не выше второй и представить эту дробь в виде суммы простейших дробей, вычислив коэффициенты их числителей с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Пример 8. Найти интегралы:

а) ; б) .

Решение. а)

б)

.

Пример 9. Найти интегралы: а) ;

б) ; в) .

Решение. а) найдём разложение подынтегральной функции на сумму простых дробей.

;

;

;

Таким образом,

.

б) .

Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей.

;

. (1)

x = 0; –8A = +5.  A = –5/8,

x = 2; 24B = 3.  B = 1/8.

Из равенства (1) следует (приравниваются коэффициенты при x³ и x):

Отсюда, зная уже A = –5/8 , B = 1/8, находим C = 1/2, D = 7/4. Таким образом,

.

в) Рациональная функция представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть делением уголком

x⁴ – 3x² + 2x +7 x³ – 2x² + x

x⁴ – 2x³ + x² x + 2

2x³ – 4x² + 2x + 7

2x³ – 4x²+2x

7

Таким образом,

.

Разложим правильную дробь на сумму простых дробей:

;

; (2)

x = 0; A = 7;

x = 1; B₂ = 7.

Сравнивая старшие коэффициенты в обеих частях равенства (2), находим A + B₁ = 0, B₁ = –A = –7 . Таким образом,

Пример 10.

Решение. Подынтегральной функцией является правильная дробь, разложение которой в сумму простейших имеет вид:

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х, что приведет к линейной системе относительно A,B,C,D,E:

x⁴: A + B = 0

x³: -2B + C = 0

x²: 2A + B – 2C + D = 2

x: -2B + C – 2D + E = 2

x⁰: A – 2C – 2E = 13.

Отсюда A = 1, B = -1, C = -2, D = -3, E = -4. Следовательно,

, где

Таким образом, окончательный результат имеет вид:

6. Интегрирование иррациональных выражений

После соответствующей замены переменных многие иррациональные функции можно свести либо к рациональным дробям, либо к тригонометрическим выражениям, интегрирование которых будет рассмотрено ниже.

Для дробно-линейных иррациональностей удобной заменой является выбор в качестве новой переменной подкоренного выражения в степени , где р – наименьший общий знаменатель дробных степеней в подынтегральном выражении.

Пример 11. .

Решение. Сделаем замену переменной: x + 3 = t⁴. Тогда dx = 4 t³dt. Подставим полученные результаты в подынтегральное выражение:

При интегрировании квадратичных иррациональностей привести подынтегральное выражение к рациональному виду помогают тригонометрические замены:

x = asin t, если в подынтегральную функцию входит ,

x = atg t для ,

, если подынтегральная функция содержит .

Пример 12. .

Решение. Выделив полный квадрат в квадратном трехчлене, получим:

, где u = x + 1.

Теперь сделаем замену переменной:

Подынтегральное выражение при этом примет вид:

Иногда от квадратичных иррациональностей можно избавиться с помощью замен другого типа.

Пример 13. .

Решение. Сделаем так называемую обратную подстановку: .Тогда