7. Интегрирование тригонометрических функций
В зависимости от вида подынтегральной функции можно применять для упрощения тригонометрического выражения различные способы.
Для
интегралов вида
:
а) если хотя бы одно из чисел т,п – нечетное (например, m = 2k + 1), то
.
Пример 14.
б) если т и п – четные, положительные, то степени понижаются сведением к двойному углу по формулам
Пример 15.
в) Если т,п
– четные и хотя бы одно из них отрицательно
(или если т
и п
– отрицательные числа одинаковой
четности), то используем соотношения
Пример
16.
Пример
17.
Интегралы вида
приводятся к табличным с помощью формул
Пример
18.
Интегралы вида
,
где R
– рациональная функция, приводятся к
интегралам от рациональных функций
новой переменной t
в общем случае с помощью подстановки
,
откуда
.
В случае четности R
по sin
x
и cos
x:
R(-sin
x,
-cos
x)
= R(sin
x,
cos
x)
используем подстановку t
= tg
x,
откуда
.
Пример
19.
.
При вычислении интеграла применена подстановка .
Пример
20.
Здесь использовалась замена t = tg x .
II. Определенный интеграл
1. Формула Ньютона-Лейбница
Для вычисления определенных интегралов от непрерывных функций с конечными пределами необходимо, пользуясь известными методами интегрирования, получить первообразную от интегрируемой функции и, применяя формулу Ньютона-Лейбница
найти разность значений первообразной при подстановке вместо переменной верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Пример
21. Найти
.
Решение.
.
Пример
22. Вычислить интеграл
.
Решение. Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле:
и
применим подстановку
т.е. x
= t².
Определим новый промежуток интегрирования:
х
= 4 при t
= 2; х
= 9 при t
= 3. Следовательно,
Пример 23.
Вычислить
.
Решение.
Воспользуемся формулой интегрирования
по частям в определенном интеграле
.
III. Несобственные интегралы
1. Несобственный интеграл I рода.
Пусть
функция f(x)
определена на
и интегрируема на отрезке [a;
b] для любого b
> a. Несобственный
интеграл первого рода определяется
равенством
.
Если существует конечный предел в этом равенстве, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично
определяются несобственные интегралы
и
:
,
.
Пример 24. Вычислить
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
.
б)
,
и интеграл расходится;
в)
.
Для исследования вопроса сходимости несобственного интеграла часто оказывается полезным следующий факт (a > 0):
Аналогичное
утверждение справедливо для интеграла
,
b
< 0, и
,
a > c.
Теорема
(первый признак сходимости). Пусть
f(x)
и g(x)
определены на
,
для любого b>a
f(x),
g(x)
интегрируемы на
и
.
Тогда
если
сходится, то сходится и
;если расходится, то расходится и .
Теорема
(второй признак сходимости). Пусть
f(x)
и g(x)
определены на
,
и пусть существует конечный предел
.
Тогда интегралы
,
ведут себя одинаково в смысле сходимости
(т.е. одновременно сходятся или расходятся).
Теорема.
Если
сходится, то сходится и
(в таком случае говорят, что
сходится абсолютно).
Аналогичные утверждения справедливы для несобственного интеграла .
Пример 25. Исследовать на сходимость интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а) Применим
теорему сравнения. В нашем случае при
х ≥ 1
справедливо неравенство
.
Рассмотрим
Так как
сходится, то на основании теоремы
сравнения несобственный интеграл
сходится.
б)
является иррациональной функцией;
степень числителя равна 3/2 (числитель
можно представить как
),
степень знаменателя равна 2. Рассмотрим
вспомогательную функцию
.
Докажем, что существует конечный предел
,
не равный 0. Действительно,
.
Поэтому
,
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
А так как
расходится, то расходится и
.
в)
Обозначим
.
Так как
,
то
.
Интеграл
сходится (доказывается это как и выше:
,
сходится и можно воспользоваться вторым
признаком сходимости).