2. Алгебра многочленов.

Определение. Многочленом степени n с действительными коэффициентами называется выражение вида:

Два многочлена равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях x.

Число x= называется корнем многочлена P_n(x), если P_n()=0.

Теорема. Пусть A_n(x) и B_m(x) – многочлены от x, n>m. Тогда существуют такие многочлены Q_n-m(x) и R_k(x), что

A_n(x)= B_m(x) Q_n-m(x) + R_k(x),

причём k<m. При этом под многочленом нулевой степени R₀(x) понимается действительное число.

Многочлены Q_n-m(x) и R_k(x), обладающие этими свойствами, называются соответственно неполным частным (или частным, если R_k(x)=0) и остатком при делении A_n(x) на B_m(x).

Пример. Разделим многочлен A₄(x)=2x⁴-3x³+2x-8 на многочлен B₁(x)=x-2 уголком (см. рис. 5.)

Рис.5. Деление многочлена на многочлен уголком

Получили частное Q₃(x)= 2x³+x²+2x+6 и остаток R₀(x)=4.

Таким образом, получили разложение

2x⁴-3x³+2x-8=(x-2)(2x³+x²+2x+6)+4.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P_n(x) на двучлен x- равен P_n().

Следствие. Число  является корнем многочлена P_n(x) тогда и только тогда, когда P_n(x) делится без остатка на x-.

Для нашего примера A₄(2)=216-38+22-8=4=R₀(x) – остаток.

Теорема. Если многочлен с целыми коэффициентами P_n(x)= имеет рациональный корень , то p является делителем свободного члена a_n, а q является делителем коэффициента при старшем члене a₀.

Определение. Если многочлен P_n(z) степени с действительными коэффициентами делится на (z-z₀)^k, , и не делится на (z-z₀)^k+1, то число k называется кратностью корня z₀ многочлена P_n(z).

Теорема. Если комплексное число z₀ является корнем кратности k многочлена P_n(z) с действительными коэффициентами, то и сопряжённое ему число также является корнем кратности k этого многочлена.

Основная теорема алгебры. Каждый многочлен степени имеет в точности n корней, вообще говоря, комплексных, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Глава 2. Матрицы. Определители

1. Алгебра матриц.

Определение. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются её элементами. Элементы матрицы A обозначаются как a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент,

Часто матрицу A записывают в сокращённом виде: или , где

Виды матриц.

Квадратная: m=n.

Число n называется порядком матрицы.

Упорядоченная совокупность элементов a₁₁, a₂₂, , a_nn называется главной диагональю квадратной матрицы, а упорядоченная совокупность элементов a_1n, a_2,n-1, , a_n1 – побочной диагональю.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы A называется следом (шпуром) матрицы A:

Верхняя треугольная матрица – матрица, у которой элементы a_ij=0 при i>j,

Нижняя треугольная матрица – матрица, у которой элементы a_ij=0 при i<j,

Диагональная матрица - матрица, элементы которой удовлетворяют условию:

Единичная матрица - диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали a_ii=0,

где - символ Кронекера, .

Симметрическая матрица - матрица, у которой все элементы a_ij=a_ji, В этом случае говорят, что элементы матрицы симметричны относительно главной диагонали.

Если a_ij=-a_ji, , то матрица называется кососимметрической.

Нулевая матрица - матрица, у которой все элементы a_ij=0,

Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид:

где , для всех .

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, матрица, состоящая из одного столбца - вектором-столбцом.

Две матрицы A и B называются равными (A=B), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.

Матрица называется транспонированной к матрице , если b_ij=a_ji Обозначение: B=A^Т.

Пример.