- •Введение
- •Глава 1. ОСновные понятия теории множеств, комплексных чисел и алгебры многочленов
- •1. Элементы теории множеств и комплексных чисел
- •1.1. Понятие множества. Операции над множествами
- •1.2. Числовые множества и их свойства.
- •2. Алгебра многочленов.
- •Глава 2. Матрицы. Определители
- •1. Алгебра матриц.
- •Виды матриц.
- •2. Определитель n-го порядка.
- •2.1. Определение. Вычисление определителей 2 и 3-го порядков.
- •2.2.Миноры и алгебраические дополнения.
- •2.3.Свойства определителя n-го порядка.
- •3. Действия над матрицами.
- •3.1.Линейные операции над матрицами.
- •3.2. Умножение матриц.
- •3.3. Многочлены от матриц.
- •3.4. Обратная матрица.
- •Вычисление обратной матрицы (через алгебраические дополнения).
- •3.5. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.
- •3.6. Ранг матрицы. Базисный минор.
- •3.7 Нахождение ранга матрицы
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения.
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Условия совместности системы линейных уравнений
- •3. Метод обратной матрицы
- •4. Правило Крамера
- •5. Метод Гаусса исключения неизвестных
- •7. Метод полного исключения
- •7.1. Решение систем линейных уравнений
- •7.2. Вычисление обратной матрицы методом полного исключения.
- •7.3. Вычисление ранга матрицы методом полного исключения
- •8. Собственные значения и собственные векторы матриц
- •9. Квадратичные формы
- •10. Численные методы решения систем линейных уравнений
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 4. Векторная алгебра
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 5. Задачи линейного программирования
- •5.1. Постановка задачи линейного программирования (злп)
- •5.2. Графический метод решения злп
- •5.3. Симплекс – метод решения злп
- •Глава 6. Балансовые модели
- •6.1. Экономико-математическая модель (эмм) межотраслевого стоимостного баланса (модель Леонтьева)
- •Модель международной торговли
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Библиографический список
- •Глава 1. ОСновные понятия теории множеств, комплексных чисел и алгебры многочленов 4
- •Глава 2. Матрицы. Определители 17
- •Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения. 51
- •Глава 4. Векторная алгебра 95
- •Глава 5. Задачи линейного программирования 110
- •Глава 6. Балансовые модели 128
7. Метод полного исключения
Используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц, разложения вектора по базису, вычисления ранга матрицы.
7.1. Решение систем линейных уравнений
Первый шаг (соответствует исключению неизвестной x1) выполняется с разрешающим элементом a110 по правилам прямого хода метода Гаусса.
Общий шаг (соответствует последовательному исключению неизвестных x2, x3, ..., xn) выполняется по следующим правилам:
назначается разрешающий элемент; им будет коэффициент при исключаемой неизвестной;
элементы разрешающей строки остаются неизменными;
все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяются нулями и остаются таковыми до конца преобразований;
все прочие элементы пересчитываются по правилу прямоугольника.
Контроль вычислений остается неизменным.
Решим ту же самую систему линейных уравнений методом полного исключения.
.
Ответ: .
7.2. Вычисление обратной матрицы методом полного исключения.
Дана матрица , det A 0.
Составляем расширенную матрицу, приписав справа к исходной матрице единичную матрицу, отделив её от исходной вертикальной чертой:
.
Эта матрица подвергается преобразованиям по алгоритму полного исключения и слева от вертикальной черты получается единичная, а справа - обратная матрица А-1. При расчёте желательно вести контроль вычислений.
Пример. Для матрицы А= найти А-1, пользуясь методом полного исключения.
Решение.
~ ~
~
А-1= = .
7.3. Вычисление ранга матрицы методом полного исключения
Пусть дана матрица A размеров m x n. Если в ходе преобразований её методом полного исключения не встретится строка (столбец), состоящая сплошь из нулей, то rang A = min(m;n). Если же k (k<min(m;n)) строк (столбцов) матрицы окажутся состоящими сплошь из нулей, то rang A = min(m;n)-k.
Пример. Найти ранг матрицы:
A=
Решение.
Следовательно, rang A=2.
Однородные системы линейных уравнений.
Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если во всех её уравнениях свободные члены равны 0.
В общем случае однородная система имеет вид:
.
Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое (тривиальное) решение xi=0, i= .
Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.
Теорема 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен 0.
8. Собственные значения и собственные векторы матриц
Определение. Число называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n , если существует такой ненулевой вектор-столбец , что выполняется равенство
. (1)
При этом вектор-столбец называется собственным вектором, отвечающим собственному значению .
Т.к. I = , где I - единичная матрица порядка n, то равенство (1) можно переписать в виде А - I =0 или
(A - I) = . (2)
Запишем это равенство в развёрнутом виде.
. (3)
Эта однородная система линейных уравнений, матричная форма записи которой определяется выражением (2). Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда det (A-I) = 0.
Определение. Для всякой квадратной матрицы А уравнение
det (A-I) = 0 (4)
относительно переменной , где I - единичная матрица, называется характеристическим (вековым) уравнением, а многочлен det(A-I) - характеристическим многочленом матрицы А.
Определение. Совокупность всех собственных значений матрицы А называется её спектром (А) , причем каждое собственное значение входит в спектр столько раз, какова его кратность в уравнении (4). Если характеристическое уравнение (4) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А называется простым.
Свойства матрицы А, связанные с её собственными значениями, называются спектральными свойствами матрицы А. К основным из них относятся следующие:
det A = ( читается: "произведение по i от 1 до n" );
Sp A = ;
если матрица А имеет диагональный или треугольный вид, то i = aii , i= ;
если i - собственные значения матрицы А, то i= , -собственные значения матрицы Аk.
Теорема о спектре. Для того, чтобы число было собственным значением матрицы А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (2) матрицы А.
Вычисление собственных векторов матрицы.
После того, как будут найдены собственные значения i , i= , матрицы А, их подставляют в систему (3) и решают её. Найденные значения xi и будут координатами собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению i , i= .
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А: .
Решение. Составим характеристическое уравнение det (A-I)=0.
=(5-)(2-)-4=10-5-2+2-4=2-7+6=0
1=1; 2=6.
Ищем собственные векторы, отвечающие собственному значению 1=1. Для этого решаем систему линейных уравнений (A-I) =0 , т.е. .
.
Следовательно, все собственные векторы, отвечающие 1=1, имеют вид: и получаются из одного вектора умножением на произвольное число x10. Положив x1=1 , получим собственный вектор =(1;-2).
Аналогичную процедуру проделываем для 2=6.
Откуда получаем: . Второй собственный вектор имеет вид . Полагая x2=1, получим собственный вектор .
Геометрический смысл собственных значений и собственных векторов.
Определение. Если каждому вектору , взятому из некоторой совокупности векторов, соответствует определённый вектор , то такая векторная функция от векторного аргумента называется преобразованием.
Закон соответствия обычно записывают в виде =А , где А - символическое обозначение преобразования. Вектор =А называют образом вектора .
Преобразование А называется линейным, если для любых векторов , , и любого числа R справедливы равенства: а)A( + ) = A + A ; б)A( ) = A .
Теорема. Любое линейное преобразование можно представить и притом единственным образом в матричной форме = А .
Матрица А называется матрицей линейного преобразования.
С геометрической точки зрения собственный вектор матрицы линейного преобразования определяет прямую, проходящую через начало координат, положение которой в результате преобразования не меняется и вдоль которой плоскость ( пространство) испытывает растяжение (сжатие) в раз, если >1 ( <1). Если <0, то, кроме растяжения или сжатия, направление любого вектора, лежащего на этой прямой, меняется на противоположное: А = = - .
Пример. Зеркальное отражение.
Матрица А= определяет линейное преобразование = А , = , = .
= = .
В прямоугольной системе координат X1OX2 это - зеркальное отражение точек плоскости относительно оси OX1.
Рис.8. Зеркальное отражение
Любой вектор, лежащий на оси OX1, является собственным вектором, отвечающим собственному значению 1=1:
= , т.е. А = 1∙ .
Любой вектор, лежащий на оси OX2, является собственным вектором, отвечающим собственному значению 2=-1:
= = (-1)∙ , т.е. А = (-1)∙ .
Матрица А = определяет преобразование, являющееся зеркальным отражением точек плоскости относительно оси OX2.
Можно рассматривать также зеркальное отражение относительно любой прямой, проходящей через начало координат.
В случае трёхмерного пространства зеркальное отражение его можно производить в любой плоскости, проходящей через начало координат. Такое преобразование также будет линейным.