Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения.

1. Основные понятия и определения

Системой m линейных уравнений с n переменными называется система вида

, (1)

где a_ij, b_i, , - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность чисел k_i, при подстановке которых в систему вместо переменных x_i, каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Запишем систему (1) в матричной форме. Пусть где A – матрица коэффициентов при переменных (она называется матрицей системы), X – вектор–столбец переменных, B - вектор–столбец cвободных членов.

Так как число столбцов матрицы A равно числу строк вектор–столбца X, то их произведение равно вектору-столбцу

Его элементами являются левые части системы (1). На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в виде:

AX = B. (2)

Определение. Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

2. Условия совместности системы линейных уравнений

Теорема Кронекера – Капелли (необходимое и достаточное условие совместности системы линейных уравнений).

Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы A системы был равен рангу расширенной матрицы A^*.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений на совместность:

Решение. Матрица системы A имеет вид

Расширенная матрица системы имеет вид:

Найдём её ранг методом элементарных преобразований:

Из последнего видно, что , а Так как

rang A rang A^* , то по теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений несовместна.

Свойства совместных систем линейных уравнений.

Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. rang A = n, то система (1) имеет единственное решение.
Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. rang A < n, то система (1) неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

3. Метод обратной матрицы

Пусть m=n. Тогда det A называется определителем системы. Предположим, что detA0. В этом случае выражение (2) можно рассматривать как матричное уравнение AX=B, которое имеет единственное решение X=A^-1B, которое и будет решением системы линейных уравнений.

Пример. Решить систему линейных уравнений: