4. Правило Крамера

Теорема Крамера. Пусть =detA , а  _j - определитель матрицы, полученной из A заменой j -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x_j = . (3)

Если =0, а хотя бы один из определителей  ₁ ,  ₂ , .....,  _n 0, то система несовместна. Если =₁=₂ = ... =_n=0, то система имеет бесконечное множество решений.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Пример. Решим систему уравнений из предыдущего примера по формулам Крамера.

= -11; ₁ = ; ₂ = =-33;  ₃ = = -22.

Решение системы: x = = -1 ; y = =3 ; z = =2.

5. Метод Гаусса исключения неизвестных

Сущность метода Гаусса состоит в том, что посредством элементарных преобразований расширенная матрица системы (1) приводится к диагональному или ступенчатому виду, из которого все решения системы усматриваются непосредственно.

Пусть в системе (1) коэффициент a₁₁0. Если бы было a₁₁=0, то на первое место в системе (1) мы поставили бы уравнение, в котором коэффициент при x₁ отличен от нуля. Элемент а₁₁ называется разрешающим элементом на первом шаге, строка и столбец, в которых он находится - разрешающими строкой и столбцом.

Шаг 1 ( исключение переменной x₁ из всех уравнений системы, кроме 1-го). Элементы 1-ой строки остаются неизменными. Элементы первого столбца, расположенные ниже элемента а₁₁, обращаются в нули и остаются таковыми до конца преобразований. Все прочие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника: преобразованный элемент равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

a _ij = a_ksa_ij - a_kja_is;

a_ks - разрешающий элемент;

a_ij - пересчитываемый элемент.

В результате преобразований получим матрицу:

Шаг 2. Если в этой матрице встречается строка (0 0 ... 0 ), где 0, то система (1) несовместна, если этого не произойдет, то, предполагая, что 0, изо всех строк, кроме первых двух, исключим, аналогично шагу 1,

неизвестную x₂ .

Аналогичная процедура проводится для исключения остальных неизвестных. При этом все элементы разрешающей строки и строк, расположенных выше, остаются неизменными; элементы разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего элемента, обращаются в нули и остаются таковыми до конца преобразований, все прочие элементы вычисляются по правилу прямоугольника (разрешающими элементами являются диагональные элементы матрицы).

Это прямой ход метода Гаусса.

Для обнуления верхнего треугольника матрицы (выше главной диагонали) используется обратный ход. Если при прямом ходе разрешающими последовательно выбирались элементы главной диагонали матрицы, то при обратном ходе таковыми будут элементы той же диагонали, но выбираемые в обратном порядке. Пересчет элементов матрицы при обратном ходе выполняется по следующим правилам:

1. элементы разрешающей строки остаются неизменными;

2. элементы разрешающего столбца, расположенные выше разрешающего элемента, обращаются в нули и остаются таковыми до конца преобразований;

3. все прочие элементы вычисляются по правилу прямоугольника.

Если к расширенной матрице справа приписать столбец , составленный из сумм элементов соответствующих строк, и преобразовывать его по правилам гауссовых исключений, то после каждого шага сумма элементов i-ой строки расширенной матрицы должна равняться соответствующему элементу преобразованного столбца . Контроль вычислений можно осуществлять как при прямом, так и при обратном ходе.

Замечание. Правило прямоугольника соответствует следующим элементарным преобразованиям: умножению пересчитываемой строки на разрешающий элемент и вычитанию из полученной таким образом строки разрешающей строки, умноженной на элемент, находящийся в пересчитываемой строке в разрешающем столбце.

Достоинства метода Гаусса.

1. Значительно менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.

2. Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти её решения (единственное или бесконечное множество).

3. Даёт возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

4. Этим методом гораздо выгоднее пользоваться в случае, когда система содержит большое число уравнений, ибо этот метод, по сути, заключается в последовательном исключении неизвестных.

Недостатки метода Гаусса.

1. Если ведущий элемент равен нулю, то схема непригодна.

2. Данная схема чувствительна к ошибкам округления – большие погрешности при делении на малые числа, появление больших по величине промежуточных результатов, потеря точности при вычитании больших (близких друг к другу) чисел.

Пример. Решим методом Гаусса ту же самую систему линейных уравнений, которую мы решали методами обратной матрицы и Крамера.

 =  ~

=

= 

= 

 =

= 

Получаем ответ: .

Вычисление определителя методом Гаусса.

Прямым ходом метода Гаусса определитель приводится к диагональному виду с той же лишь разницей, что на каждом шаге определитель делится на разрешающий элемент с показателем степени, равным количеству преобразуемых строк; при перестановке строк определитель меняет знак на противоположный; общий множитель строки (столбца) выносится за знак определителя.

Пример. Вычислить определитель:

.

Решение.

(т.к. определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали).

6. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента

6.1. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцам матрицы

Перед исключением x₁ отыскивается .Этот элемент называется главным элементом. Допустим, максимум соответствует i=i₀.Тогда первое уравнение в исходной системе линейных уравнений меняем местами с i₀–ым уравнением. После этого осуществляется 1-ый шаг исключения. Затем перед исключением x₂ из оставшихся уравнений отыскивается , осуществляется соответствующая перестановка уравнений и т.д.

6.2. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента по строкам матрицы.

Перед исключением x₁ отыскивается . Пусть максимум достигается при j=j₀. Тогда поменяем взаимно номера у неизвестных и (максимальный по величине из коэффициентов 1-го уравнения окажется в позиции a₁₁) и приступим к процедуре исключения x₁ и т.д.

6.3. Схема метода Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице

На 1-ом шаге среди элементов a_ij определяют максимальный по модулю элемент .

Первое уравнение системы и уравнение с номером i₁ меняют местами и меняются взаимно номера у неизвестных x₁ и (элемент окажется в позиции a₁₁). Далее стандартным образом производят исключение неизвестного из всех уравнений, кроме 1-го.

На k-ом шаге среди коэффициентов при неизвестных в уравнениях системы с номерами выбирают максимальный по модулю коэффициент . Затем k-ое уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и меняются взаимно номера у неизвестных x_k и (элемент окажется в позиции ). Исключается неизвестное из уравнений с номерами . На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: .

Наиболее надёжным является метод исключения с выбором главного элемента по всей матрице коэффициентов на каждом шаге исключения. Рассмотренные модификации метода Гаусса позволяют, как правило, существенно уменьшить неблагоприятное влияние погрешностей округления на результаты расчёта.

Пример. Систему линейных уравнений, решённую нами методом Гаусса, решим с помощью его модификаций.

Решение.

Схема с выбором главного элемента по столбцам.

         .

Решение:

Схема с выбором главного элемента по строкам.         

Схема с выбором главного элемента по всей матрице.

   ~       

~    .

Решение