§7. Элементарные преобразования графиков
Напомним некоторые приемы, которые часто используются при построении графиков функций. Пусть построен график функции y = f(x). Тогда:
1) график
функции y
= f(x
+ a)
получается из графика функции y
= f(x)
переносом вдоль оси 0х
на a
единиц влево, если a
> 0, или на
единиц вправо, если a
<0.
2) график функции y = f(x) + b получается из графика функции y = f(x) переносом на b единиц вверх, если b > 0, или на
единиц
вниз, если b
< 0.
3) график
функции y
= f
(kx)
(k
> 0) получается из графика функции y
= f(x)
сжатием вдоль оси 0х
в k
раз, если k
,
или растяжением в
раз, если 0<k<1.
4) график
функции y
= cf(x)
получается из графика функции (c
> 0) y
= f(x)
растяжением вдоль оси 0у
в c
раз, если
(
при c
< 1 сжатием в
раз).
5) графики функций y = f(x) и y = f(–x) симметричны относительно оси 0у; графики функций y = f(x) и y = –f(x) симметричны относительно оси 0х.
Пример
7.1.
Построить график функции
а б
в г
Подчеркнем,
что величина сдвига вдоль оси
определяется той постоянной, которая
прибавляется непосредственно к аргументу
,
а не к аргументу
.
Поэтому для нахождения этой постоянной
функцию
преобразуют к виду
.
Здесь сдвиг вдоль оси
на
единиц.
Например,
.
Значит график функции
получается из графика функции
переносом
вдоль оси
на
единиц вправо.
Пример 7.2. Построить график функции.
а
б
в
г
Отметим
также следующее. Пусть заданы функция
и ее график. Тогда выражения
,
и
определяются следующим образом:
Графики этих функций приведены на рисунках
Задачи для самостоятельного решения
8.
9.
10.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1.
Для
заданной функции
и отрезка
(коэффициенты приведены в таблице)
найдите:
а) промежутки возрастания, убывания и точки экстремума;
б)
наибольшие и наименьшие значения функции
на отрезке
варианта |
p |
q |
r |
c |
a |
b |
1 |
12 |
52 |
96 |
-5 |
-5 |
0 |
2 |
-8/3 |
-2 |
8 |
3 |
0 |
3 |
3 |
16/3 |
2 |
-24 |
1 |
-4 |
0 |
4 |
8/3 |
-10 |
-24 |
2 |
-2 |
3 |
5 |
-16/3 |
12 |
0 |
-1 |
-2 |
2 |
6 |
8/3 |
2 |
-8 |
1 |
-3 |
1 |
7 |
32/3 |
-38 |
48 |
-3 |
-3 |
1 |
8 |
-4/3 |
-12 |
0 |
5 |
-3 |
1 |
9 |
4 |
-8 |
-48 |
1 |
-4 |
1 |
10 |
4/3 |
-18 |
-36 |
2 |
-2 |
4 |
11 |
20/3 |
4 |
-32 |
-1 |
-3 |
2 |
12 |
-28/3 |
28 |
-8 |
3 |
0 |
3 |
13 |
20/3 |
-4 |
-36 |
-1 |
-3 |
3 |
14 |
16/3 |
-8 |
-64 |
2 |
-3 |
3 |
15 |
16/3 |
-18 |
-144 |
1 |
-4 |
1 |
16 |
4/3 |
-8 |
-16 |
-3 |
-3 |
1 |
17 |
28/3 |
24 |
0 |
5 |
-3 |
1 |
18 |
-20/3 |
2 |
24 |
1 |
0 |
4 |
19 |
4 |
-20 |
-96 |
0 |
-1 |
4 |
20 |
8/3 |
-18 |
-72 |
-1 |
-3 |
1 |
21 |
0 |
-26 |
-48 |
6 |
-2 |
2 |
22 |
-6/3 |
6 |
0 |
5 |
-1 |
2 |
23 |
8 |
22 |
24 |
-1 |
-2 |
0 |
24 |
4 |
-2 |
-12 |
2 |
-2 |
2 |
25 |
0 |
-14 |
-24 |
-3 |
-3 |
0 |
26 |
-4/3 |
-20 |
-32 |
1 |
-3 |
1 |
27 |
-8/3 |
-10 |
24 |
-2 |
-2 |
2 |
28 |
-20/3 |
12 |
0 |
3 |
-1 |
1 |
29 |
-4/3 |
-8 |
16 |
-4 |
0 |
3 |
30 |
-4/3 |
-4 |
0 |
-5 |
-2 |
1 |