§2. Экстремумы функции

Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции f(x), определённой в некоторой окрестности x₀, если существует некоторая окрестность (x₀ – ; x₀ + ) этой точки, такая, что для любого x(x₀ – ; x₀ + ), x  x₀ справедливо неравенство f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x₀)); при этом f(x₀) называют максимумом (минимумом) функции. Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если f(x) дифференцируема в промежутке (a,b) и x₀(a, b) является точкой экстремума функции f(x) , то .

Точки, в которых , называются стационарными точками f(x) . Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть f(x) дифференцируема в окрестности стационарной точки x₀. Если при переходе через точку x₀ меняет свой знак, то x₀ является точкой экстремума. А именно, если при переходе через точку x₀

а) меняет свой знак с минуса на плюс (т.е. при достаточно малых значениях ), то x₀ является точкой минимума;

б) меняет свой знак с плюса на минус (т.е. при достаточно малых значениях ), то x₀ является точкой максимума функции;

в) не меняет своего знака, то x₀ не является точкой экстремума.

Иногда удобно пользоваться другим достаточным условием экстремума.

Теорема 3 (достаточное условие экстремума). Пусть x₀ – стационарная точка функции f(x), дважды дифференцируемой в точке x₀. Если , то x₀ является точкой экстремума. Точнее говоря, если

а) , то x₀ – точка минимума;

б) , то x₀ – точка максимума.

Точкой экстремума f(x) может оказаться и точка, в которой не определена.

Стационарные точки и точки, в которых не определена, называют критическими точками функции.

Пример 2.1. Найти точки экстремума функции .

Решение. Наша функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные точки.

. Стационарными точками являются . При переходе через точку x = 0 не меняет своего знака, поэтому эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку x = 1 меняет свой знак с «–» на «+», следовательно, x = 1 – точка минимума (на рисунке получается «впадина»).

Пример 2.2. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем ее первую производную . Критическими точками являются и Следовательно, интервалы возрастания и убывания таковы: . Сведем исследования в таблицу.