§5. Построение графика функции
При построении графика функции сначала проводят исследование функции. При этом придерживаются следующего
(примерного) плана:
1) находят область определения функции;
2) находят точки пересечения графика функции с осями координат;
3) определяют четность, нечетность, периодичность;
4) находят точки разрыва и устанавливают тип разрыва;
5) с помощью первой производной устанавливают интервалы монотонности (т.е. интервалы возрастания и убывания) функции и находят точки экстремума и значения функции в этих точках;
6) с помощью второй производной устанавливают интервалы выпуклости, вогнутости и находят точки перегиба;
7) находят асимптоты функции. Затем по этим данным строят график функции.
Пример 5.1.
Построить график функции
.
Решение. 1)
Нулями знаменателя являются
и x = 8. Следовательно,
областью определения функции является
множество
.
2) Найдём точки пересечения с осями координат.
а) С
осью 0x . Найдём нули
функции:
лишь при x = 0; значит,
график функции пересекает ось 0x
(или касается оси 0x )
в точке O(0; 0) – начале
координат.
б) C осью 0y . Для нахождения общей точки графика функции и оси 0y следует найти f(0): f(0) = 0. Поэтому график пересекает ось 0y в точке O(0; 0).
3) Наша
функция представляет собой отношение
двух многочленов, поэтому она непрерывна
всюду, за исключением нулей знаменателя:
и x = 8. Найдём левые и
правые пределы в этих точках.
Для точки :
;
.
Отсюда делаем
вывод, что
является точкой разрыва второго рода.
Для точки x = 8:
;
.
Поэтому x = 8 также является точкой разрыва второго рода.
4) Имеем
Критическими
точками функции являются её стационарные
точки
,
,
.
Знак
совпадает со знаком выражения
.
Видно, что функция возрастает на промежутках
и
и убывает на промежутках
,
,
.
Следовательно, точка
является точкой максимума (на рисунке
ей соответствует «горка»), точка
– точкой минимума (ей соответствует
«впадина»). Стационарная точка x
= 0 не является точкой экстремума. Найдём
значение функции в точках экстремума:
f(
)
-7,57; f(
)
25,35.
5)
.
Трёхчлен
при всех xR
(его дискриминант меньше 0). Поэтому знак
совпадает со знаком дроби
.
Составим схему. Видно, что функция
выпукла в интервалах (–;
–4) и (0; 8) и вогнута в интервалах (–4; 0)
и (8; +).
При переходе через точки – 4, 8, 0
меняет свой знак. Поэтому точка x
= 0 является точкой перегиба ( в точках
x =
4, x = 8 функция не
определена).
6
)
Так как
,
,
то прямые
и
x = 8 являются вертикальными
асимптотами. Найдём наклонные асимптоты
при x
– и
при x
+.
Уравнения этих асимптот будем искать
в виде y = kx
+ b.
а) x –.
,
Таким образом, прямая y = x + 4 является асимптотой при
x –.
б) При x + получим тот же результат: прямая y = x + 4 является асимптотой.
Основываясь на полученных данных, построим график функции.
Пример
5.2. Построить график функции
.
Решение. 1) Областью определения функции является (–; +).
2) Найдём точки пересечения с осями координат.
а) С осью 0x. Функция не имеет нулей, следовательно, она не имеет общих точек с осью 0x.
б) С
осью 0y. Имеем
.
Точка (0; e-4) является
точкой пересечения графика с осью 0y.
3) Наша функция является суперпозицией непрерывных функций, поэтому она непрерывна на всей числовой оси.
4) Имеем
.
Ф
ункция
имеет одну стационарную точку x
= 2. y = f(x)
возрастает на промежутке (–;
2) и убывает на промежутке (2; +),
точка x = 2
является точкой максимума. Максимум
функции равен f(2) = 1.
5)
.
Ф
ункция
имеет нули
x1=2–
,
x2=2+
.
Она выпукла на интервале
(2–
;2+
)
и вогнута на интервалах (–;2–
),
(2+ ;+ ). Точки x = 2 – и x = 2 + являются точками перегиба.
6) Так как функция определена и непрерывна на всей числовой оси, то она не имеет вертикальных асимптот. Найдём наклонные асимптоты.
а) x – . Ищем асимптоту в виде y = kx + b.
.
.
Таким образом, прямая y = 0 является асимптотой функции при x –.
б) При x + получим тот же результат: y = 0 является асимптотой при x +.
По полученным данным построим график функции.
Пример
5.3. Построить график функции
Решение. 1) Область
определения функции
2) Точки пересечения с осями координат
;
;
;
; 
3) Функция непрерывна на всей области определения.
4)
Следовательно, производная в точке не определена.
стационарная
точка.
Функция
убывает на промежутках
и возрастает на промежутке
Следовательно,
точка
является точкой максимума;
критическая
точка, является точкой минимума.
Эскиз графика данной функции приведен на рисунке.
Задачи для самостоятельного решения.
Построить графики следующих функций:
1.
;
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
;
9.
10.
Ответы:
1.
-
точка перегиба;
2.
-
точка перегиба,
-
асимптоты;
3.
и
-
точки перегиба,
асимптоты;
4.
и
-
точки перегиба,
асимптота;
5.
и
точки
перегиба,
асимптота;
6.
-
точка перегиба,
-
асимптота;
7.
-
точки перегиба,
-
асимптота;
8.
-
точки перегиба,
-
асимптота;
9. - точка перегиба;
10.
и
-
точки перегиба,
-
асимптота;