ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра высшей математики

и физико-математического моделирования

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для организации самостоятельной работы

по изучению раздела «Исследование функций

и построение графиков» курса «Математический анализ»

для студентов специальностей

230104 «Системы автоматизированного проектирования»,

230101 «Вычислительные машины,

комплексы, системы и сети»

очной формы обучения

Воронеж 2011

Составители: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Глушко,

канд. физ.-мат. наук А.П. Дубровская

УДК 517.9

Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Исследование функций и построение графиков» курса «Математический анализ» для студентов специальностей 230104 «Системы автоматизированного проектирования», 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» очной формы обучения / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская. Воронеж, 2011. 39 с.

В методических указаниях содержатся основные теоретические положения по теме исследование функций и построение графиков. Приводится большое количество решенных типовых задач, задач для самостоятельного решения.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле Исслед.функц.doc .

Библиогр.: 5 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин

Ответственный за выпуск зав. кафедрой

д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного технического университета

 ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет», 2011

Исследование функциЙ. Построение графикОВ

§1. Возрастание и убывание функции.

Говорят, что функция строго возрастает (строго убывает) на интервале , если для любых различных точек и  из  справедливо неравенство

т.е. если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функция возрастает (убывает) на интервале , если для любых различных точек и  из  справедливо неравенство

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная была положительна всюду на

(a; b) , то есть

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция возрастала (не убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная была неотрицательна всюду на (a; b) , то есть

Аналогично достаточным условием строгого убывания дифференцируемой функции , является условие

необходимым и достаточным условием убывания – условие

Пример 1.1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1)

2)

3)

Решение. 1) Данная функция всюду дифференцируема, причем Так как при и и при , то на интервалах и функция строго возрастает, а на интервале строго убывает.

2) Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причем

Так как при всех , то данная функция является невозрастающей на всей числовой оси. На интервале она постоянна, на интервале строго убывает.

3) Данная функция является четной, поэтому достаточно найти интервалы монотонности при . Решая при неравенство , получаем

или

откуда

или

Таким образом, на интервалах и функция строго возрастает. На интервалах , очевидно, справедливо неравенство , и поэтому на этих интервалах функция строго убывает. Если , то, используя четность функции, получаем, что на интервалах функция строго возрастает, а на интервалах и , строго убывает.

Следует обратить внимание на то, что данная функция не

является монотонной ни в какой окрестности точки В любой окрестности этой точки содержится счетное множество интервалов убывания данной функции.

Задачи для самостоятельного решения.

Найти интервалы монотонности функций

1. 2. 3.

4. 5.

Ответы: 1. возрастает; убывает;

2. убывает; возрастает;

3. убывает; возрастает;

4. Монотонно возрастает; 5. Монотонно возрастает.