6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Рассмотрим уравнение кривой второго порядка

, (27)

левая часть которой является квадратичной формой двух переменных. Если ввести симметрическую матрицу

, (28)

и вектор , то квадратичную форму можно задать с помощью скалярного произведения . Пусть найдены собственные значения , и соответствующие собственные векторы , . Выбрав новую систему и (она задается собственными векторами , , выходящими из начала координат), она тоже будет ортогональной, так как в силу свойств для собственных векторов симметрической матрицы . Новая (штриховая) ортогональная система координат геометрически представляет поворот осей вокруг точки начала . В системе матрица (28) принимает диагональный вид , а уравнение (27) превратится в уравнение

. (29)

Без ущерба общности можно считать (иначе умножим уравнение на (–1)).

Уравнение (29) представляет уравнение кривой второго порядка: при (при ) имеем уравнение эллипса; при – гиперболы; при (где ) это уравнение задает параболу (при условии, что в уравнении (29) содержатся линейные слагаемые).

Выписав характеристическое уравнение для матрицы (28) с помощью теоремы Виета легко убедиться, что . Следовательно, получается легко проверяемый критерий того, какую кривую задает квадратичная форма в общем уравнении кривых второго порядка:

(30)

Пример 16. Дано уравнение кривой второго порядка , требуется назвать кривую, привести ее уравнение к каноническому виду и построить эту кривую на плоскости.

Решение. 1) По коэффициентам квадратичной формы, записанной в виде, , выпишем симметрическую матрицу . Вычислив определитель матрицы , из классификации кривых (30) делаем вывод, что мы имеем кривую, которая является эллипсом.

2) Найдем собственные значения матрицы : , то получим характеристическое уравнение , отсюда , .

3) Определим собственные векторы для вычисленных собственных значений, они определяются системой: .

При получим систему , которая эквивалентна одному уравнению . Положим , тогда и, значит, .

При получим систему , которая эквивалентна одному уравнению . Положим , тогда и, значит, .

4) Уравнение эллипса в новой системе координат , где её оси направлены по собственным векторам , , найдем по формуле (29):

.

Разделив последнее уравнение на 8, приведем его к каноническому виду:

.

5) Начертим по векторам и новые оси координат и . Отложив по оси большую полуось , а по оси меньшую полуось , построим эллипс.

Замечание. Аналогичные преобразования можно проводить для уравнений поверхностей второго порядка. Матрица квадратичной формы в этом случае будет квадратной матрицей 3-го порядка, а характеристическое уравнение будет кубическим уравнением. Корни кубического уравнения, в общем случае, уже точно найти не удается, поэтому, приходится прибегать к приближенным вычислениям.

7. Решение однородных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

, (31)

которая в матричной форме принимает вид .

Если искать ее решение в виде , то после подстановки решения в систему и сокращения на получим матричное уравнение . Вычислив собственные значения и (далее ограничимся случаем действительных и разных корней) и соответствующие собственные векторы и , можно построить общее решение с двумя произвольными постоянными

. (32)

Пример 17. Найти общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений: .

Решение.

Выпишем матрицу системы , собственные значения которой найдем из характеристического уравнения (26) . По теореме Виета , . Определим собственные векторы из системы (25) для нашей матрицы .

Для получим систему, которая эквивалентна одному уравнению , тогда при получим и соответствующий собственный вектор .

Для получим систему, которая эквивалентна одному уравнению , тогда при получим и соответствующий собственный вектор .

Согласно (32), получим , тогда общее решение системы имеет вид .