2. Линейные преобразования и матрицы

Преобразование, в котором новые координаты (со штрихом) выражаются через старые координаты линейным образом

(5)

называется линейным. Очевидно, каждому линейному преобразованию (5) соответствует квадратная матрица

А = , (6)

Если еще ввести векторы-столбцы и , то преобразование (5) в матричной форме примет вид

. (7)

Из линейных свойств матрицы следуют свойства аддитивности и однородности линейного преобразования (5):

, . (8)

Если заданы два линейных преобразования и , то суперпозиция линейных преобразований, выражающие координаты через неизвестные задаются матрицей

. (9)

Легко проверить, что вектор , который является

первым столбцом матрицы , является образом единичного орта : . Аналогично, задает второй столбец матрицы и т.д. В силу линейных свойств матрицы она переводит вектор в вектор , т.е. ортонормированный базис в базис (для невырожденных матриц, определитель которой не равен нулю ). Из геометрического смысла смешанного произведения следует геометрический смысл модуля определителя матрица А – коэффициент изменения объема при данном преобразовании. Аналогично, на плоскости единичный квадрат, построенный на векторах переходит в параллелограмм, построенный на векторах и , а . Основными типами линейных преобразований на плоскости являются преобразования гомотетии (подобие с центром в начале координат), поворот на угол вокруг начала координат и симметрии. Матрица гомотетии с коэффициентом подобия имеет вид , где единичная матрица. В случае диагональной матрицы вида , при , , являющуюся обобщением матрицы , где , является преобразованием растяжения , или сжатия , 2 по соответствующей оси.

Матрица поворота на угол вокруг начала координат имеет вид

. (10)

Отметим, что матрицы поворота перестановочны между собой т.е.

.

Пример 3. Написать матрицу симметрии С относительно прямой y=x.

Решение. Симметрия относительно биссектрисы в 1-ом и 3-ем координатных углах переводит ось OX в ось OY и наоборот, следовательно, , . Соединив найденные 1-ый и 2-ой столбцы, получим .

Отметим, что ее определитель . В общем случае, любое линейное преобразование на плоскости является комбинацией вышеперечисленных типов, а если определитель отрицателен, то в этом преобразовании будет участвовать симметрия относительно некоторых прямых.

Пример 4. Определить геометрическое преобразование, заданное матрицей .

Решение. Заметим, что , аналогично, . Следовательно, данное преобразование по оси Оx задает растяжение в 3 раза, а по оси Oy – сжатие в 2 раза.

Пример 5. Указать матрицу линейного преобразования D в пространстве, которое выполняет поворот векторов вокруг оси Oz на угол .

Решение. Так как ось Oz остается на месте, то . При этом проекции вектора в плоскости xOy должны поворачиваться на угол , тогда . Окончательно получим D= .

Пример 6. Даны два линейных преобразования на плоскости , . Найти преобразование, преобразующее вектор в .

Решение. Выпишем матрицы преобразований и , тогда по формуле (9) .

Вернувшись к неизвестным укажем результирующее преобразование, соответствующее матрице С: .