- •Методические указания
- •Предисловие
- •Электростатика Основные формулы
- •1. Примеры решения задач Взаимодействие зарядов
- •Решение
- •Напряжённость
- •Решение
- •Потенциал
- •Связь напряжённости с разностью потенциалов. Вектор
- •Решение
- •Диэлектрики
- •Электроёмкость
- •Работа. Энергия системы зарядов
- •2. Задачи для самостоятельного решения
- •3. Примерные варианты для контрольных заданий
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Методические указания
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Работа. Энергия системы зарядов
Задача 1.17. Две частицы, обладающие массами m1 и m2 и зарядами +q1 и +q2, движутся навстречу друг другу, имея вдалеке относительную скорость отн. На какое наименьшее расстояние сблизятся частицы.
Дано: m1 m2 q1 q2 |
rmin – ? |
Рассмотрим движение частиц в какой-либо «лабораторной» системе отсчета, например, связанной с Землей. Полагая систему двух заряженных частиц изолированной, воспользуемся законом сохранения энергии: где W – полная энергия частиц. Последние обладают в каждый момент времени кинетической энергией, а также потенциальной энергией кулоновского взаимодействия.
Когда частицы находятся вдалеке друг друга, то их потенциальной энергией можно пренебречь.
Тогда полная энергия системы равна:
, |
(1) |
где и – скорости частиц в выбранной системе отсчета.
Так как векторы и направлены противоположно, то значения и связаны с заданной относительной скоростью отн соотношением:
или , |
(2) |
При сближении частиц потенциальная энергия их кулоновского взаимодействия (отталкивания), будучи величиной положительной, начнет увеличиваться. Следовательно, суммарная кинетическая энергия частиц станет уменьшаться. Частицы не могут как угодно близко подойти друг к другу, иначе их потенциальная энергия оказалась бы больше полной энергии W1, противоречит условию .
При наибольшем сближении частиц, когда расстояние между ними равно rmin полная энергия равна:
, |
(3) |
где Wmin – кинетическая энергия системы.
Чтобы найти Wmin, учтем, что в момент наибольшего сближения частиц их скорости будут одинаковыми: . Действительно, когда скорости частиц неодинаковые, расстояние между ними растет или уменьшается и, следовательно, не является минимальным.
Применив к системе закон сохранения импульса, запишем:
, |
(4) |
где - импульс системы удаленных частиц, - импульс системы при наибольшем сближении. При этом вектор предположительно выбран совпадающим по направлению с вектором (очевидно, при подсчете кинетической энергии направление скорости несущественно).
Из уравнения (4) имеем:
,
тогда для величины Wmin получим:
, |
(5) |
Подставив (5)в (3) и приравняв правые части (1) и (3) на основе закона сохранения энергии, а также учитывая (2), найдем:
.
Задача 1.18. Четыре одинаковых точечных заряда q расположены на одной прямой, на расстоянии r друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы переместить эти заряды в вершины тетраэдра со стороной r? Среда — вакуум.
Дано: q r ε =1 |
А – ? |
Р
Рис. 1.15
(1)
Энергия системы N точечных зарядов определяется формулой:
,
здесь q – заряд в некоторой точке, – потенциал поля в этой же точке, созданного зарядами системы.
Запишем эту формулу применительно к системе четырех зарядов, расположенных на одной прямой:
, |
(2) |
здесь , , , – потенциалы поля, созданного в точках 1, 2, 3, 4 остальными зарядами, не считая того заряда, который находится в данной точке.
Потенциал поля в точке 1, созданного зарядами в точках 2, 3, 4 равен:
, |
(3) |
В силу симметрии . (4)
Потенциал в точке 2, созданного зарядами в точках 1, 3, 4 равен:
, |
(5) |
В силу симметрии . (6)
Подставим (3)-(6) в (2):
, |
(7) |
Теперь определим энергию системы зарядов , расположенных в вершинах тетраэдра. Очевидно, что энергия заряда в одной вершине равна:
,
где – потенциал поля, созданного в этой вершине каждым из остальных трех зарядов.
В силу симметрии вся энергия этой системы четырех зарядов будет в четыре раза больше:
, где .
Поэтому (8)
Поставим (7) и (8) в (1):
Ответ: .
Задача 1.19. В однородное электростатическое поле напряжённостью =700 перпендикулярно полю поместили стеклянную пластину толщиной =1,5 , площадью =200 и относительной диэлектрической проницаемостью =7. Определить: 1) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию электростатического поля, сосредоточенную в пластине.
Дано: =700 =7 =1,5мм=1,5 =200 =2 |
-? -? |
Зная и , выражаем напряжённость поля в стекле и электрическое смещение
, .
Тогда поверхностная плотность связанных зарядов равна:
(1)
Энергию электростатического поля, сосредоточенную в пластине, можно найти через объемную плотность энергии электрического поля и объём
(2)
Подставив числовые значения в выражения (1) и (2), получим:
(пДж)
Ответ: ; пДж.
Задача 1.20. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполненного стеклом . Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1Па. Определить: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2)электрическое смещение; 3) напряжённость электростатического поля в стекле; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объёмную плотность энергии электростатического поля в стекле.
Дано: 7 1Па
|
w-? |
Давление пластин конденсатора на стекло равно
, (1)
где (2)
Подставив выражение (2) в (1), получим
(3)
Электрическое смещение равно
и , (4)
следовательно, . (5)
Поверхностная плотность связанных зарядов на стекле равна поляризованности
(6)
Объёмная плотность энергии электрического поля в стекле равна
(7)
Подставив числовые значения, получим:
=11,1 ( )
( )
( )
( )
Ответ: , , , , .
Задача 1.21. Две концентрические сферы радиусами заряжены соответственно одинаковыми зарядами . Определить энергию электростатического поля, заключённого между этими сферами.
Дано:
|
|
Р
Рис. 1.16
Воспользуемся формулой для определения объёмной плотности энергии электростатического поля
, (1)
где , тогда энергия электростатического поля, заключённого между сферами, может быть определена путём интегрирования
, . (2)
Используя выражения (1) и (2), получим
(3)
Подставив числовые значения в выражение (3) и вычислив, найдём
( ).
Ответ: 135 .