1. Примеры решения задач Взаимодействие зарядов

Задача 1.1. Три одинаковых положительных заряда расположены по вершинам равностороннего треугольника (рис.1.1). Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Дано:

- ?

Решение

В

Рис. 1.1

се три заряда, рас­поло­жен­ных по вер­шинам тре­уголь­ника, находятся в одинаковых усло­виях. Поэтому для решения за- дачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треуголь­ника, чтобы один из этих трех зарядов, например, нахо­дился в равновесии. В соответствии с принципом суперпози­ции на любой заряд действует каждый из других зарядов независимо от остальных. , , - силы, с которыми соответственно действуют на заряд , заряды , , ; - равнодействующая сил и (рис. 1.1).

(1)

Для равновесия необходимо, чтобы

(2)

, так как треугольник равносторонний и заряды равны: . Из геометрических построений в равностороннем треугольнике

,

Используя свойства ромба, равнодействующую можно определить

Сила взаимодействия зарядов и равна

.

Подставив выражения и в (2), получим

(3)

Подставив в (3) значение , найдем нКл.

Равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Ответ: нКл.

Задача 1.2. Тонкий прямой стержень длиной =15 см равномерно заряжен с линейной плотностью мКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии см от ближайшего конца находится точечный заряд . Определить силу взаимодействия стержня и заряда.

Дано:

Решение

Рис. 1.2

Начало оси поместим в точку, где находится заряд , а саму ось направим влево. Рассмотрим бесконечно малый элемент длины стержня, находящийся на расстоянии от заряда (рис.1.2). Заряд этого элемента равен

(1)

По закону Кулона на заряд будет действовать со стороны заряда сила равная

. (2)

Со стороны всех остальных бесконечно малых элементов стержня на заряд также будут действовать элементарные силы, направленные в ту же сторону, что и . Сложив их модули, найдём искомую силу, равную результирующей силе действия всех элементов стержня на заряд :

где .

Подставив все величины в единицах СИ в (3) и выполнив вычисления, найдём

Ответ:

Задача 1.3. Тонкий стержень длиной (рис.1.3) несет равномерно распределённый по длине заряд с линейной плотностью На расстоянии от стержня находится заряд , равноудалённый от концов стержня. Определить силу взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

Дано:

Р ешение

З

Рис. 1.3

акон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных зарядов. По условию задачи один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределённый по длине стержня. Однако, если выделить на стержне малый участок , то находящийся на нём заряд можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами и :

, (1)

где - расстояние от выделенного элемента до заряда . Из чертежа (рис.1.3) следует, что и , где - расстояние от заряда до стержня. Подставив эти выражения и в формулу (1), получим

. (2)

Следует иметь в виду, что - вектор, поэтому, прежде чем интегрировать, разложим его на две составляющие: , перпендикулярную стержню, и , параллельную ему.

Из рисунка 1.3 видно, что

, .

Подставляя значение из выражения (2) в эти формулы, найдём:

; .

Интегрируя эти выражения в пределах от до + , получим

В силу симметрии расположения заряда относительно концов стержня интегрирование второго выражения даёт нуль:

Таким образом, сила, действующая на заряд :

(3)

Из рис. 1.3 следует, что .

Подставив это выражение в формулу (3), получим

. (4)

Произведём вычисления по формуле (4):

Ответ: мН.