Связь напряжённости с разностью потенциалов. Вектор

З адача 1.7. Имеются две концентрические металлические сферы радиусами и . Пространство между сферами заполнено парафином ( . Заряд внутренней сферы равен , внешней = . Найти потенциал электрического поля на расстоянии: 1) ; 2) ; 3) от центра сфер.

Дано:

Решение

П

Рис 1.7

остроим вспомогательные сферы радиусами , и (рис. 1.7). Для определения напряжённостей

электрического поля в точках 1, 2, 3 воспользуемся теоремой Гаусса:

1) , так как внутри сферы радиуса нет электрических зарядов, поэтому .

2) , так как сфера радиуса включает свободный заряд , поэтому . Используя формулу , из последнего выражения получим:

3) , так как сфера радиуса проведена в вакууме и включает свободные заряды и , поэтому . Для определения потенциалов электрического поля в точках 1,2,3 воспользуемся формулой, связывающей напряжённость с потенциалом

Потенциал в точке 1:

Так как (нормальная составляющая вектора напряжён­ности) терпит разрыв на всех заряженных поверхностях, т.е. при и , то последний интеграл необходимо разобрать на два интеграла:

Потенциал в точке 2:

терпит разрыв при , поэтому данный интеграл необходимо разбить на два интеграла:

Потенциал в точке 3:

Ответ:

Задача 1.8. На металлической сфере радиусом 15 см находится заряд Определить напряженность и потенциал электрического поля: 1) на расстоянии от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии от центра сферы. Построить графики зависимостей .

Дано:

Решение:

Точки, в кото­рых требуется найти напряжённость и по­тенциал электриче­ского поля, лежат в трёх областях: и . Для определения напряженности в соответствующих об­ластях воспользуемся теоремой Гаусса:

.

Так как при (внутри сферы зарядов нет), то

(1)

где сферическая поверхность радиусом ; - нормальная составляющая напряжённости электрического поля.

Из соображений симметрии нормальная составляющая должна быть равна самой напряжённости и постоянна для всех точек сферы, то есть . Поэтому её можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид

.

Так как площадь сферы не равна нулю, то , т. е. напряжённость поля во всех точках, удовлетворяющих условию , будет равна нулю.

При (поверхность сферы ) заряд равен по условию задачи, тогда согласно теореме Гаусса, можно записать равенство:

.

Так как , то из условий симметрии следует

или , откуда

(2)

Аналогично, при

,

где , тогда .

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом , несущей заряд , на расстоянии от центра сферы равен:

внутри сферы E = 0, потенциал одинаков и равен потенциалу на поверхности сферы ;

на поверхности сферы ;

вне сферы .

Следовательно, ; .

Подставив числовые значения, получим:

; ;

;

;

.

Графики зависимостей представлены соответственно на рис. 1.8 и рис. 1.9.

Рис. 1.8 Рис. 1.9

Ответ: , ;

Задача 1.9. Электрическое поле создано бесконечно длинным равномерно заряженным с поверхностной плотностью заряда цилиндром радиусом Определить изменение потенциальной энергии однозарядного положительного иона при перемещении его из точки 1 в точку 2 (рис 1.10).

Дано: