Электроёмкость

Задача 1.13. На рис. 1.12 изображена батарея конденсаторов. Определить её ёмкость, если .

Дано:

Решение

Д

Рис 1.12

анное соединение из пяти конденсаторов нельзя разложить на элементы последовательного и параллельного соединений. К такому выводу можно прийти, если вспомнить, что для последовательного соединения двух конденсаторов характерно отсутствие узлов на проводнике, соединяющем конденсаторы. С другой стороны, при параллельном соединении оба конденсатора непосредственно подключены к одним и тем же точкам цепи, поэтому на обоих проводниках, соединяющих два конденсатора, должно быть по одному узлу.

Из рис. 1.12 видно, что ни одно из этих условий не выполняется ни для одной пары конденсаторов.

Заметим, что, отключив от цепи конденсатор , получим соединение, ёмкость которого легко рассчитать, поскольку это будет параллельное соединение двух ветвей: и , каждая из которых есть последовательное соединение двух конденсаторов.

Чтобы выяснить роль конденсатора , найдём разность потенциалов между точками и (рис.1.12) после его отключения. Поскольку и , обе параллельные ветви симметричны, поэтому потенциалы точек и , одинаково расположенных на ветвях, должны быть равны. Следовательно, конденсатор не заряжен. Тогда ёмкость каждой из двух параллельных ветвей равна

,

а ёмкость всей батареи

= .

Ответ: = .

Задача 1.14. Между обкладками плоского конденсатора параллельно им введена металлическая пластинка толщиной а = 8,0 мм. Определить емкость конденсатора, если площадь каждой из обкладок S = 100 см², расстояние между ними l = 10,0 мм.

Дано: а = 8,0 мм = 8,0·10-3 м S = 100 см2 = 10-2 м2 l = 10,0 мм = 10,0·10-3 м

C – ?

Решение

Емкость конденсатора найдем из опре­деляющей фор­мулы

Рис. 1.13

,

если предварительно выразим напряжение на обкладках кон­денсатора как функцию заряда его обкладок.

В результате явления электростатической индукции свободные заряды в металлической пластинке, введенной в конденсатор, перераспределяются так, что напряженность электрического поля внутри пластинки станет равной нулю:

(1)

С другой стороны, индуцированные заряды распределяться по поверхностям пластинки так, что она станет подобной плоскому конденсатору СD (рис. 1.13), вставленному в данный конденсатор AB. Известно, что напряженность поля в пространстве вне плоского конденсатора равна нулю. Поэтому введение пластинки в конденсатор AB не изменит напряженности однородного поля в пространстве вне пластинки. Пусть эта напряженность равна Е. Выразим ее через заряд конденсатора на основании формул:

и :

(2)

Из соотношения с учётом формул (1) и (2) находим напряжение на обкладках конденсатора

(3)

Подставив в формулу вместо напряжения его значение по (3), получим:

.

Выполнив вычисления, найдем:

Ответ: .

Задача 1.15. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U₁ = 500 В. Площадь пластин S = 200 см², расстояние между ними d = 1,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин (ε = 2). Определить разность потенциалов U₂ между пластинами после внесения диэлектрика. Определить также емкости конденсатора С₁ и С₂ до и после внесения диэлектрика.

Дано: U1 = 500 В S = 200 см2 = 2·10-2 м2 d = 1,5 мм = 1,5·10-3 м ε = 2

U2 – ? С1 – ? С2 – ?

Решение

Так как конденсатор отключен от источника напряжения, то при любых изменениях параметров конденсатора будет выполняться закон сохранения заряда

(1)

Из определения электроемкости С = q/U следует

C₁U₁ = C₂U₂ (2)

Емкость конденсатора С₁ и С₂ до и после внесения диэлектрика найдем по формулам:

и

(3)

Тогда из (2) получаем

, .

Подставив числовые значения в выражение (3), вычислим С₁ и С₂:

,

.

Ответ: , ,

Задача 1.16. Два коаксиальных диска радиусов см, см расположены на расстоянии мм друг от друга (рис. 1.14). Диски заряжены равномерно с поверхностной плотностью равной мкКл/м². Определить силу электрического взаимодействия дисков.

Дано: см = 0,1м см = 0,05м мм = 2,4·10-3м мкКл/м2 = =20·10-6 Кл/м2

F – ?

Решение

Н

Рис. 1.14

айдя площадь дисков и зная поверх­ностную плотность их заряда, можно найти заряды дисков. Од­нако, было бы ошиб­кой вычислять затем силу их взаи­модействия по закону Кулона, который применим лишь для точечных зарядов. Можно сначала по закону Кулона найти силу взаимодействия двух бесконечно малых элементов дис­ков, а затем суммируя эти силы по обеим плоскостям (т.е. про­изводя двойное интегрирование), определить полную силу взаимодействия дисков.

Однако существует другой, более простой путь решения задачи. Каждый из двух взаимодействующих зарядов нахо­дится в поле другого заряда, при этом напряженность поля за­ряженного диска радиуса в тех точках, где расположен вто­рой диск, можно вычислить, не прибегая к интегрированию. Действительно, все точки диска находятся близко от и далеко от его краев. Это значит, что диск можно рассматри­вать как бесконечную, равномерно заряженную плоскость, на­пряженность которой определяется формулой:

,

(1)

Выразив из формулы заряд диска :

,

(2)

найдем искомую силу F из соотношения :

(3)

Подставив в (3) вместо и их значения по формулам (1) и (2), получим:

,

(4)

Выполнив вычисления, найдем Н.

Примечание. Как видно из формулы (4), сила взаимодействия дисков не зависит от расстояния между ними. Но это будет, пока выполняется неравенство и диск можно рассматривать как бесконечную плоскость. При достаточно большом расстоянии между дисками, когда , заряды дисков можно считать точечными и силу взаимодействия между ними рассчитывать по закону Кулона.