Задача №4

Линия задана уравнением в полярной системе координат

.

Требуется: 1) построить линию по точкам от до , придавая значения через промежуток ; 2) найти уравнение линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось - с полярной осью; 3) определить вид линии по ее уравнению в декартовой системе координат; 4) сделать чертеж.

Решение. 1) Построим линию по точкам при , . Функция в предлагаемом случае определена при всех значениях полярного угла , поскольку ни при каких значениях . Следовательно линия представляет собой замкнутую кривую, охватывающую начало координат.

Для построения части линии при заполним таблицу 1

Таблица 1

(град) (рад)	0
	1 25	0.87 9.58	0.5 3.57	0 1.92	-0.5 1.32	-0.87 1.07	-1 1

При вычислении значений функции для использована формула приведения .

П роведем на плоскости лучи, составляющие с положительным направлением оси заданные углы . На каждом из них отложим отрезок, равный соответствующему значению (рис. 4).

Рис. 4

2

y

3

\

) Найдем уравнение линии в декартовой системе координат. Воспользуемся формулами, связывающими декартовые координаты точки ( ) и ее полярные координаты

, , .

Отсюда получим: . Подставим выражения для и в исходное уравнение линии

.

Преобразуем это уравнение к виду

, или .

Возведем обе части уравнения в квадрат

или .

Выделяя полный квадрат в левой части уравнения, получим

.

Разделив обе части уравнения на число, стоящее в правой части равенства, окончательно получаем уравнение

Из вида уравнения заключаем, что линия является эллипсом, центр которого смещен вправо по оси на 12 единиц. Его полуоси: . Чертеж эллипса приведен на рис. 5.

y

5

-1 0 12 25

-5

Рис. 5