- •Программа курса “алгебра и геометрия ” (первый семестр) Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры
- •Индивидуальные задания Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача №5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Методические указания
- •Составители: Бырдин Аркадий Петрович
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задача №3
Сделать чертеж и составить уравнение линий:
1) каждая точка которой равноудалена от точки и от оси ;
2) каждая точка которой находится втрое дальше от точки , чем от точки ;
3) получаемой при движении точки в плоскости так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния от прямой ;
4) для каждой точки которой расстояние от начала координат и от точки относятся друг к другу как ;
5) получаемой при движении точки в плоскости так, что ее расстояние от прямой вдвое меньше расстояния от точки ;
6) каждая точка которой равноудалена от точки и от прямой ;
7) для каждой точки которой расстояние от точки и от прямой относятся как ;
8) расстояние каждой точки которой от точки втрое больше расстояния от точки ;
9) каждая точка которой равноудалена от точки и от прямой ;
10) каждая точка которой одинаково удалена от точки и от прямой ;
11) полученной при таком движении точки , что расстояние от нее до точки вдвое меньше расстояния от точки ;
12) расстояние каждой точки которой от точки и от прямой относятся как ;
13) каждая точка которой находится вдвое дальше от точки , чем от точки ;
14) для каждой точки которой сумма квадратов расстояний до точек и равна ;
15) каждая точка которой отстоит от точки втрое дальше, чем от начала координат;
16) для каждой точки которой сумма квадратов расстояний до сторон квадрата с вершинами , , , есть величина постоянная, равная ;
17) для каждой точки которой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой равно ;
18) каждая точка которой одинакова удалена от точки и от начала координат;
19) для каждой точки которой сумма квадратов расстояний до точек и равна ;
20) каждая точка которой одинаково удалена от точки и от оси .
Задача №4
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам от до , придавая значения через промежуток ; 2) найти уравнение линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось - с полярной осью; 3) определить вид линии по ее уравнению в декартовой системе координат; 4) сделать чертеж.
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
Задача №5
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) методом Крамера;
2) используя обратную матрицу.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16. 17. 18.
19. 20.
Задача №6
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача №7
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача №1
Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:
уравнения сторон и и их угловые
коэффициенты;
угол в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой;
уравнение высоты и ее длину;
уравнение медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой .
Сделать чертеж (рис.1).
Рис. 1
Решение. 1) Найдем координаты векторов и , для чего воспользуемся формулой
.
Тогда , . Эти векторы являются направляющими векторами прямых, на которых лежат соответствующие стороны треугольника и для получения их уравнений можно использовать каноническое уравнение прямой на плоскости
.
В результате получим
( ),
( ).
Разрешая эти уравнения относительно , т.е. приводя их к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом
,
найдем , .
2) Угол треугольника совпадает с углом между векторами и и для его нахождения можно использовать формулу
,
По таблице найдем значение угла : < ( ).
3) Для получения уравнения высоты приведем уравнение стороны к виду общего уравнения прямой на плоскости
( ).
Из рисунка видно, что вектор нормали к прямой является направляющим вектором высоты , т.е. , и можно вновь воспользоваться каноническим уравнением прямой на плоскости
( ).
Длину высоты вычислим по формуле вычисления расстояния от точки до прямой :
.
В нашем случае
.
4) Найдем координаты точки , являющейся серединой отрезка
; .
Т.о., , и для нахождения уравнения медианы можно использовать уравнение прямой, проходящей через две точки и : . Тогда получим
или ( ).
Наконец, для вычисления координат точки , решим совместно уравнения прямых и , предварительно приведя их уравнения к общему виду
.
Отсюда получим .