Учебное пособие 1758
.pdfy y(x) y(x ) |
|
1 |
|
y(k) (x )(x x )k r (x) (k) . |
(10.1) |
|||
|
k! |
|||||||
0 |
|
0 |
0 |
|
k |
|
||
По доказанному в следствии 9.1, при достаточно малом x 0 |
||||||||
знак (k) совпадает со знаком d k y(x ) |
1 |
y(k)(x ) xk . |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
k! |
0 |
|
|
Пусть y(k)(x ) 0 и k |
четно. Тогда |
xk |
всегда положительно |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и, согласно (10.1), при всех x, достаточно близких к x0 , прираще-
ние
y y(x) y(x0) будет отрицательно. Значит, x0 есть точка строго-
го максимума.
Такие же рассуждения при y(k)(x0) 0 и четном k показыва-
ют, что для всех x, достаточно близких к x0 , приращение
y y(x) y(x0) будет положительно, и значит, x0 есть точка стро-
гого минимума.
Наконец, если k нечетно, то xk меняет свой знак в зависимости от того левее или правее точки x0 на числовой оси находится точка x. Значит для таких x y y(x) y(x0) может быть как по-
ложительным, так и отрицательным. Следовательно, в этом случае в точке x0 экстремума нет.
Теорема доказана.
§11. Направление выпуклости графика функции
Впредыдущих параграфах с помощью первой и старших производных мы рассмотрели задачу отыскания интервалов возрастания
иубывания (графика) функции и нахождение точек экстремума функции. Но этими характеристиками не исчерпываются все особенности поведения графика на заданном интервале.
61
Рис 11.1.
На Рис. 11.1 изображены графики трех функций y x, y x2 и y=
x. Все они возрастают на интервале (0, ), но характер их воз-
растания различен. Это различие связано с понятием выпуклости, которое играет важную роль в современной науке.
Множество в двумерном или трехмерном пространстве называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками А и В оно содержит и все точки отрезка АВ, соединяющего эти точки.
Например, график функции y x (прямая линия) есть выпук-
лое множество. Также выпуклыми будут части координатной плоскости XOY, лежащие выше графика y x и ниже этого графика.
В свою очередь графики функций y 
x, y x2 есть примеры невыпуклых множеств. Также невыпуклыми будут, соответственно,
множества точек над графиком y 
x и под графиком y x2 .
62
Наоборот, множество точек под графиком y 
x и множе-
ство точек над графиком y x2 будут выпуклыми. В связи с этим возникают следующие определения.
Определение 11.1. График функция y y(x) на отрезке [c,d]
называется выпуклым вниз, если для любых двух точек А и В графика функции отрезок АВ, соединяющий эти точки, лежит не ниже дуги AB самого графика функции.
Если все точки отрезка АВ кроме его концов лежат строго выше точек дуги AB графика функции, то график называется выпуклым вниз строго.
Определение 11.2. График функция y y(x) на отрезке [c,d]
называется выпуклым вверх, если для любых двух точек А и В графика функции отрезок АВ, соединяющий эти точки, лежит не выше дуги AB самого графика функции.
Если все точки отрезка АВ кроме самих концов лежат строго ниже точек дуги AB графика функции, то график называется выпуклым вверх строго.
Например, график функции y x2 строго выпуклый вниз,
график функции y 
x строго выпуклый вверх, а график функции y x выпуклый и вниз и вверх, но не строго.
Напомним нужные нам сведения из аналитической геометрии, касающиеся углового коэффициента прямой на плоскости. Пусть L произвольная невертикальная прямая на координатной плоскости XOY . Углом наклона L прямой L к оси OX называется острый угол, на который надо повернуть ось OX , чтобы она стала параллельна прямой L. Если поворот происходит против часовой стрелки, то угол считается положительным, а если по часовой стрелке, то
отрицательным. Угловым коэффициентом kL |
прямой L называется |
тангенс угла наклона прямой L к оси OX : |
|
kL tg L. |
(11.1) |
63 |
|
Таким образом, если угол L, - /2 L / 2, монотонно возрас-
тает, то соответствующий угловой коэффициент kL также моно-
тонно возрастает.
Пусть A(x1, y1),B(x2, y2) две произвольные точки на прямой L.
Используя определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, легко получаем формулу
k |
L |
|
y |
|
y2 |
y1 |
. |
(11.2) |
x |
x |
|
||||||
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
Теорема 11.1. Пусть на отрезке [c,d] задана функция y y(x), график которой выпуклый вниз, и пусть
M(m, y(m)), N(n, y(n)) две произвольные переменные точки на ее графике, такие, что c m n d .
Рис 11.2.
Тогда,
1)если m растет, а n m остается постоянным, то угловой коэффициент отрезка MN не убывает.
2)если n убывает, а m n остается постоянным, то угловой коэффициент отрезка MN не возрастает.
64
Доказательство. Возьмем произвольное p между m и n и рас-
смотрим соответствующую точку P(p, y(p)) на графике функции y y(x). Так как при переходе от m к p m возрастает, а при пере-
ходе от n к p n убывает, то для доказательства теоремы достаточ-
но проверить справедливость неравенства
kMP kMN kPN , |
(11.3) |
между угловыми коэффициентами сторон треугольника MNP.
По условию график функции y y(x) выпуклый вниз. Поэтому точка P лежит не выше точки Q(p, y) отрезка MN с той же абс-
циссой p.
Обозначим координаты точки M через (x1, y1), точки P через
(x2, y2), точки N через (x3, y3) и точки Q через (x2, y2), y2 y2 .
Согласно формуле (11.2) и неравенству y2 y2 получаем
или неравенства |
|
kMP kMN kPN , |
(11.5) |
если график функции y y(x) строго выпуклый вверх. |
|
Следующие результаты показывают, что в отличие от возрастающей или убывающей функции, график которой может иметь счетное множество разрывов первого рода, график, выпуклый вниз или вверх, будет непрерывной линией во всех внутренних точках отрезка [c,d]. Более того, функция y y(x), имеющая такой гра-
фик, почти во всех точках интервала (c,d) будет иметь производ-
ную y y'(x).
Теорема 11.2. Если на отрезке [c,d] функция y y(x) имеет
график выпуклый вниз (вверх), то во всех точках интервала (c,d) у
нее существуют и конечны левая y' (x) и правая y' (x) произ-
водные, каждая из которых есть не убывающая (не возрастающая) функция аргумента x.
В концевых точках отрезка [c,d] существуют соответствую-
щие односторонние производные, которые могут быть бесконечными.
Во всех точках интервала (c,d) справедливо неравенство
|
|
(11.6) |
y' (x) y (x) (соответственно y' (x) y (x) ). |
||
При этом равенство y' (x) |
|
|
y (x) , означающее существова- |
||
ние обычной производной y'(x) |
функции y y(x), имеют место во |
|
всех точках интервала (c,d) за исключением конечного или счет-
ного множества точек этого интервала.
Доказательство. Остановимся на доказательстве первого утверждения для функции, график которой выпуклый вниз. Пусть p произвольная точка (c,d) и пусть m p n ― произвольные пе-
ременные точки из интервала (c,d). Как и выше, обозначим через
M,P,N соответствующие точки графика функции y y(x). По до-
66
казанному выше, в силу неравенства (11.3) и первого утверждения теоремы 11.1, при m p слева угловые коэффициенты отрезка
MP возрастают и удовлетворяют неравенству kMP kPN =const .
Следовательно, по теореме о пределе монотонно возрастающей и
ограниченной сверху переменной существует limkMP. Отсюда, со-
m p
гласно определению левой производной, имеем
limk |
|
lim |
y(p) y(m) |
y' |
(p), |
|
MP |
p m |
|||||
m p |
m p |
|
|
и существование левой производной во всех точках интервала (c,d) доказано.
Далее, согласно (11.3) имеем неравенство kMP kMN . Отсюда,
переходя к пределу при m p получаем неравенство
y' (p) kPN . |
(11.7) |
Переходя в этом неравенстве к пределу при p n получаем |
|
y' (p) limkPN |
y' (n). |
p n |
|
Отсюда, в силу произвольности p n получаем, что левая произ-
водная функции y y(x) не убывает.
Доказательство существования правой производной во всех точках интервала (c,d) и ее не убывание следуют из формулы
limk |
|
lim |
y(p) y(n) |
y' |
|
(p) |
PN |
|
|
||||
n p |
n p |
p n |
|
|||
с помощью тех же рассуждений, что и выше.
Неравенство (11.6) следует из неравенства (11.7), если в его правой части перейти к пределу при n p и применить предыду-
щую формулу.
Наконец, последнее утверждение о существовании у функции y y(x) обычной производной почти во всех точках интервала
67
(c,d) доказывается с помощью стандартных рассуждений из тео-
рии множеств [ 4 ].
Замечание 11.2. Так как угловой коэффициент kMP возрастает
с ростом m и limkMP y' (p), получаем неравенство kMP y (p),
m p
верное для всех c m p.
Аналогично, y' (p) kPN при всех n p. Отсюда, учитывая
неравенство (11.6) окончательно получаем, что для любых m p n
|
|
(p) kPN . |
(11.8) |
kMP y |
(p) y |
Определение 11.3. Назовем прямую L опорной к графику функции y y(x) на отрезке [c,d] в точке P(p, y(p)) снизу
(сверху), если она проходит через эту точку и целиком лежит не выше (не ниже) графика на всем [c,d].
Рис 11.3.
Теорема 11.3. Если график функции y y(x), c x d, вы-
пуклый вниз (вверх), то любая прямая LP , заданная уравнением
68
|
y y(p) k(x p), |
c p d, |
|
|
(p)), лежит не выше (не ни- |
где y' (p) k y |
(p) (y' (p) k y |
же) графика функции и пересекает его в точке P(p, y(p)). То есть она является опорная прямой к графику функции в точке P снизу (сверху).
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку m p и
пусть M(m, y(m)), Q(m, y(m)) соответствующие точки на графике
функции и на прямой LP соответственно. |
В силу левой части нера- |
||||||||
венства (11.8) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y(p) y(m) |
|
|
|
y(p) |
|
(m) |
|
|
|
|
|
|
y |
|||||
kMP |
(p) k |
|
, |
||||||
y |
|||||||||
|
p m |
|
|
|
p m |
||||
что означает справедливость неравенства y(m) y(m). Так как
m p произвольно, полученное неравенство доказывает, что левее точки P график функции y y(x) лежит не ниже прямой LP .
Доказательство соответствующего утверждения для точек графика правее точки P проводится аналогично с привлечением правой части неравенства (11.8).
Теорема доказана.
Теорема 11.4. График функции y y(x) на отрезке [c,d] вы-
пуклый вниз тогда и только тогда, когда для всех точек этого отрезка существуют опорные снизу прямые.
Доказательство. Необходимость существования опорной снизу прямой для выпуклого вниз графика функции доказана в тео-
реме 11.3.
Для доказательства достаточности предположим противное: график функции не выпуклый вниз, но в каждой его точке существует опорная снизу прямая. Тогда, согласно определению 11.1 найдутся две точки M(m, y(m)), N(n, y(n)), m n, графика функции такие, что на графике есть точки, лежащие выше отрезка MN. Бу-
69
дем сдвигать прямую MN параллельно самой себе вверх до тех пор, пока она последний раз пересечет график функции над (m,n) и
пусть одна из точек этого пересечения будет P(p, y(p)), m p n.
Обозначим сдвинутую прямую через L, а опорную прямую в точке P, к графику функции снизу (существующую по условию теоремы) через LP . Так как L лежит строго выше точек M и N графика, то прямые L и LP не совпадают и пересекаются только в точке P. Так как при пересечении с L прямая LP переходит с одной ее стороны на другую, то либо слева от p либо справа от p все точки LP ока-
зываются строго выше соответствующих точек прямой L. Следовательно, либо точка M , либо точка N графика оказывается лежащей строго ниже прямой LP , что противоречит определению пря-
мой, опорной к графику снизу.
Теорема доказана.
Остановимся теперь на связи понятия выпуклости со свойствами первой и второй производных.
Теорема 11.5. Пусть у функции y y(x), c x d, существует производная y' y'(x), c x d . Тогда следующие условия эквива-
лентны:
1)график функции y y(x), c x d, выпуклый вниз (вверх);
2)производная y' y'(x), c x d , не убывает (не возрастает).
Строгая выпуклость графика вниз (вверх) эквивалентна строгому возрастанию (строгому убыванию) первой производной.
Доказательство. Справедливость утверждения 1) 2) доказана в теореме 11.2.
Для доказательства 2) 1) предположим противное: производная не убывает, а график функции не является выпуклым вниз. Тогда найдется такой отрезок MN, соединяющий две точки
M(m, y(m)), N(n, y(n)) графика функции и такая промежуточная
70